Номер 33, страница 413 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 33, страница 413.

Условие.

33 a) О первых шести членах возрастающей арифметической прогрессии известно, что сумма пятых степеней всех этих членов равна нулю, а сумма их четвёртых степеней равна 49. Найдите первый член этой прогрессии.

б) О первых семи членах убывающей арифметической прогрессии известно, что сумма пятых степеней всех этих членов равна нулю, а сумма их четвёртых степеней равна 51. Найдите седьмой член этой прогрессии.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)Пусть $a_1, a_2, \dots, a_6$ — первые шесть членов возрастающей арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. По условию, прогрессия возрастающая, значит $d > 0$.

Нам даны два условия:
1) Сумма пятых степеней: $a_1^5 + a_2^5 + a_3^5 + a_4^5 + a_5^5 + a_6^5 = 0$
2) Сумма четвёртых степеней: $a_1^4 + a_2^4 + a_3^4 + a_4^4 + a_5^4 + a_6^4 = 49$

Для удобства представим члены прогрессии симметрично относительно некоторого центра $c$. Так как членов 6 (чётное число), то центр будет находиться между $a_3$ и $a_4$. Члены прогрессии можно записать как:$c - \frac{5}{2}d, c - \frac{3}{2}d, c - \frac{1}{2}d, c + \frac{1}{2}d, c + \frac{3}{2}d, c + \frac{5}{2}d$.Рассмотрим сумму их пятых степеней. Используя формулу бинома Ньютона, для любой пары $(c-x)^5 + (c+x)^5$ все нечётные степени $c$ сократятся. Сумма всех шести членов будет представлять собой полином нечётной степени относительно $c$.$\sum_{k=1}^{6} a_k^5 = 0$Учитывая, что функция $f(x)=x^5$ является нечётной и строго возрастающей, равенство суммы нулю для членов арифметической прогрессии возможно только тогда, когда прогрессия симметрична относительно нуля. Это означает, что центр $c$ должен быть равен нулю.Таким образом, члены прогрессии имеют вид:$a_1 = -\frac{5}{2}d, a_2 = -\frac{3}{2}d, a_3 = -\frac{1}{2}d, a_4 = \frac{1}{2}d, a_5 = \frac{3}{2}d, a_6 = \frac{5}{2}d$.Теперь воспользуемся вторым условием. Так как $(-x)^4 = x^4$, сумма четвёртых степеней равна:$2 \cdot \left( \left(\frac{1}{2}d\right)^4 + \left(\frac{3}{2}d\right)^4 + \left(\frac{5}{2}d\right)^4 \right) = 49$$2 \cdot \frac{d^4}{16} \left( 1^4 + 3^4 + 5^4 \right) = 49$$\frac{d^4}{8} (1 + 81 + 625) = 49$$\frac{d^4}{8} \cdot 707 = 49$$d^4 = \frac{49 \cdot 8}{707} = \frac{392}{707}$Так как прогрессия возрастающая, $d > 0$, поэтому $d = \sqrt[4]{\frac{392}{707}}$.Нам нужно найти первый член прогрессии $a_1$:$a_1 = -\frac{5}{2}d = -\frac{5}{2} \sqrt[4]{\frac{392}{707}}$
Ответ: $a_1 = -\frac{5}{2}\sqrt[4]{\frac{392}{707}}$.

б)Пусть $a_1, a_2, \dots, a_7$ — первые семь членов убывающей арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. По условию, прогрессия убывающая, значит $d < 0$.

Нам даны два условия:
1) Сумма пятых степеней: $\sum_{k=1}^{7} a_k^5 = 0$
2) Сумма четвёртых степеней: $\sum_{k=1}^{7} a_k^4 = 51$

Так как количество членов нечётно (семь), удобно представить их симметрично относительно среднего члена $a_4$:$a_4-3d, a_4-2d, a_4-d, a_4, a_4+d, a_4+2d, a_4+3d$.Рассмотрим сумму пятых степеней. Для каждой пары $(a_4-kd)^5 + (a_4+kd)^5$ получается выражение, в котором все коэффициенты при $d$ в нечётных степенях равны нулю. Сумма всех членов является полиномом относительно $a_4$ и $d$.$\sum_{k=1}^{7} a_k^5 = (a_4-3d)^5 + \dots + (a_4+3d)^5 + a_4^5 = 0$Из-за симметрии и нечётности степени, это уравнение имеет единственное вещественное решение $a_4=0$.Таким образом, члены прогрессии симметричны относительно нуля:$-3d, -2d, -d, 0, d, 2d, 3d$.Теперь используем второе условие. Так как $(-x)^4 = x^4$, сумма четвёртых степеней равна:$2 \cdot (d^4 + (2d)^4 + (3d)^4) + 0^4 = 51$$2d^4 (1^4 + 2^4 + 3^4) = 51$$2d^4 (1 + 16 + 81) = 51$$2d^4 \cdot 98 = 51$$196d^4 = 51$$d^4 = \frac{51}{196}$Так как прогрессия убывающая, $d < 0$. Найдём $d$:$d^2 = \sqrt{\frac{51}{196}} = \frac{\sqrt{51}}{14}$ (значение $d^2$ должно быть положительным).$d = -\sqrt{\frac{\sqrt{51}}{14}}$Нам нужно найти седьмой член прогрессии $a_7$. В нашей симметричной записи $a_7 = 3d$.$a_7 = 3d = -3\sqrt{\frac{\sqrt{51}}{14}}$Этот ответ можно также записать в виде $a_7 = -3\sqrt[4]{\frac{51}{196}}$.
Ответ: $a_7 = -3\sqrt{\frac{\sqrt{51}}{14}}$.