Номер 31, страница 413 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 31, страница 413.

Условие.

31 a) Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, для которой сумма первых пяти членов с нечётными номерами на единицу больше суммы первых пяти членов с чётными номерами и равна квадрату первого члена.

б) Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, для которой сумма первых четырёх членов с нечётными номерами на единицу меньше суммы первых четырёх членов с чётными номерами и равна взятому с отрицательным знаком квадрату первого члена.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. Общий член прогрессии задается формулой $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Сумма первых пяти членов с нечётными номерами: $S_{нечёт} = a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9$.
Выразим эти члены через $a_1$ и $d$:
$S_{нечёт} = a_1 + (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) + (a_1 + 6d) + (a_1 + 8d) = 5a_1 + 20d$.
Сумма первых пяти членов с чётными номерами: $S_{чёт} = a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10}$.
Выразим эти члены через $a_1$ и $d$:
$S_{чёт} = (a_1 + d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 5d) + (a_1 + 7d) + (a_1 + 9d) = 5a_1 + 25d$.
Согласно условию, $S_{нечёт} = S_{чёт} + 1$ и $S_{нечёт} = a_1^2$. Составим систему уравнений:
$\begin{cases} 5a_1 + 20d = (5a_1 + 25d) + 1 \\ 5a_1 + 20d = a_1^2 \end{cases}$
Решим первое уравнение системы, чтобы найти $d$:
$5a_1 + 20d = 5a_1 + 25d + 1$
$20d = 25d + 1$
$-5d = 1$
$d = -1/5 = -0.2$
Теперь подставим значение $d$ во второе уравнение системы:
$5a_1 + 20(-0.2) = a_1^2$
$5a_1 - 4 = a_1^2$
$a_1^2 - 5a_1 + 4 = 0$
Это квадратное уравнение. Его корни можно найти, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Следовательно, корни $a_1 = 1$ и $a_1 = 4$.
Таким образом, мы получили два возможных набора значений для первого члена и разности прогрессии.
Ответ: $a_1=1, d=-0.2$ или $a_1=4, d=-0.2$.

б) Аналогично, пусть $a_1$ — первый член, а $d$ — разность арифметической прогрессии.
Сумма первых четырёх членов с нечётными номерами: $S_{нечёт} = a_1 + a_3 + a_5 + a_7$.
$S_{нечёт} = a_1 + (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) + (a_1 + 6d) = 4a_1 + 12d$.
Сумма первых четырёх членов с чётными номерами: $S_{чёт} = a_2 + a_4 + a_6 + a_8$.
$S_{чёт} = (a_1 + d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 5d) + (a_1 + 7d) = 4a_1 + 16d$.
По условию, $S_{нечёт} = S_{чёт} - 1$ и $S_{нечёт} = -a_1^2$. Составим систему уравнений:
$\begin{cases} 4a_1 + 12d = (4a_1 + 16d) - 1 \\ 4a_1 + 12d = -a_1^2 \end{cases}$
Из первого уравнения системы найдём $d$:
$4a_1 + 12d = 4a_1 + 16d - 1$
$12d = 16d - 1$
$-4d = -1$
$d = 1/4 = 0.25$
Подставим найденное значение $d$ во второе уравнение системы:
$4a_1 + 12(0.25) = -a_1^2$
$4a_1 + 3 = -a_1^2$
$a_1^2 + 4a_1 + 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -4, а произведение равно 3. Следовательно, корни $a_1 = -1$ и $a_1 = -3$.
Таким образом, мы получили два возможных набора значений.
Ответ: $a_1=-1, d=0.25$ или $a_1=-3, d=0.25$.