Номер 30, страница 413 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 30, страница 413.

Условие.

30 а) В геометрической прогрессии первый член равен $\sqrt{3}$, а пятый $\sqrt{243}$. Найдите шестой член прогрессии.

б) В геометрической прогрессии первый член равен $\sqrt{2}$, а седьмой $\sqrt{128}$. Найдите восьмой член прогрессии.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a)

Пусть $b_n$ — n-й член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По условию, первый член $b_1 = \sqrt{3}$, а пятый член $b_5 = \sqrt{243}$. Формула для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Для пятого члена ($n=5$) подставим известные значения в формулу: $b_5 = b_1 \cdot q^{4}$
$\sqrt{243} = \sqrt{3} \cdot q^4$
Отсюда выражаем и вычисляем $q^4$: $q^4 = \frac{\sqrt{243}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{243}{3}} = \sqrt{81} = 9$.

Шестой член прогрессии $b_6$ можно найти по формуле $b_6 = b_5 \cdot q$. Из уравнения $q^4 = 9$ следует, что $q^2 = 3$, а значит, знаменатель $q = \pm\sqrt{3}$. Так как в условии нет ограничений на знак знаменателя, задача имеет два возможных решения.

1. Если $q = \sqrt{3}$, то $b_6 = \sqrt{243} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{243 \cdot 3} = \sqrt{729} = 27$.
2. Если $q = -\sqrt{3}$, то $b_6 = \sqrt{243} \cdot (-\sqrt{3}) = -\sqrt{729} = -27$.

Ответ: $27$ или $-27$.

б)

По условию, в геометрической прогрессии первый член $b_1 = \sqrt{2}$, а седьмой член $b_7 = \sqrt{128}$. Пусть $q$ — знаменатель прогрессии. Формула для n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Для седьмого члена ($n=7$) подставим известные значения: $b_7 = b_1 \cdot q^{6}$
$\sqrt{128} = \sqrt{2} \cdot q^6$
Отсюда выражаем и вычисляем $q^6$: $q^6 = \frac{\sqrt{128}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{128}{2}} = \sqrt{64} = 8$.

Восьмой член прогрессии $b_8$ можно найти по формуле $b_8 = b_7 \cdot q$. Из уравнения $q^6 = 8$ следует, что $q = \pm\sqrt[6]{8} = \pm\sqrt[6]{2^3} = \pm 2^{3/6} = \pm\sqrt{2}$. Так как в условии нет ограничений на знак знаменателя, задача имеет два возможных решения.

1. Если $q = \sqrt{2}$, то $b_8 = \sqrt{128} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{128 \cdot 2} = \sqrt{256} = 16$.
2. Если $q = -\sqrt{2}$, то $b_8 = \sqrt{128} \cdot (-\sqrt{2}) = -\sqrt{256} = -16$.

Ответ: $16$ или $-16$.