Номер 37, страница 414 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 37, страница 414.

Условие.

Постройте график функции (37–46);

37 а) $y = |1 - 2x| + |2x + 3|$;

б) $y = |2x - 3| + |1 - x|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $y = |1 - 2x| + |2x + 3|$

Для построения графика функции, содержащей модули, необходимо раскрыть модули. Метод интервалов заключается в том, чтобы найти точки, в которых выражения под знаком модуля равны нулю, и рассмотреть поведение функции на каждом из полученных интервалов.

Найдем нули подмодульных выражений:

1) $1 - 2x = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = 0.5$

2) $2x + 3 = 0 \Rightarrow 2x = -3 \Rightarrow x = -1.5$

Эти точки $(-1.5$ и $0.5)$ разбивают числовую прямую на три интервала. Раскроем модули на каждом из них.

1. При $x < -1.5$:

Оба выражения $1 - 2x$ и $-(2x + 3)$ положительны. Например, при $x=-2$: $1-2(-2)=5>0$ и $2(-2)+3=-1<0$.

Значит, $|1 - 2x| = 1 - 2x$ и $|2x + 3| = -(2x + 3) = -2x - 3$.

Функция принимает вид: $y = (1 - 2x) + (-2x - 3) = 1 - 2x - 2x - 3 = -4x - 2$.

2. При $-1.5 \le x < 0.5$:

Выражение $1 - 2x$ положительно, и выражение $2x + 3$ также положительно. Например, при $x=0$: $1-2(0)=1>0$ и $2(0)+3=3>0$.

Значит, $|1 - 2x| = 1 - 2x$ и $|2x + 3| = 2x + 3$.

Функция принимает вид: $y = (1 - 2x) + (2x + 3) = 1 - 2x + 2x + 3 = 4$.

3. При $x \ge 0.5$:

Выражение $1 - 2x$ отрицательно, а $2x + 3$ положительно. Например, при $x=1$: $1-2(1)=-1<0$ и $2(1)+3=5>0$.

Значит, $|1 - 2x| = -(1 - 2x) = 2x - 1$ и $|2x + 3| = 2x + 3$.

Функция принимает вид: $y = (2x - 1) + (2x + 3) = 2x - 1 + 2x + 3 = 4x + 2$.

Таким образом, функция является кусочно-линейной:

$y = \begin{cases} -4x - 2, & \text{если } x < -1.5 \\ 4, & \text{если } -1.5 \le x < 0.5 \\ 4x + 2, & \text{если } x \ge 0.5 \end{cases}$

Построение графика:

1. На интервале $(-\infty, -1.5)$ строим луч $y = -4x - 2$. Он начинается в точке $(-1.5, 4)$, так как $y(-1.5) = -4(-1.5) - 2 = 6 - 2 = 4$. Возьмем контрольную точку $x=-2$, $y(-2) = -4(-2)-2=6$.
2. На отрезке $[-1.5, 0.5]$ строим отрезок горизонтальной прямой $y = 4$. Он соединяет точки $(-1.5, 4)$ и $(0.5, 4)$.
3. На интервале $[0.5, +\infty)$ строим луч $y = 4x + 2$. Он начинается в точке $(0.5, 4)$, так как $y(0.5) = 4(0.5)+2=4$. Возьмем контрольную точку $x=1$, $y(1) = 4(1)+2=6$.

Ответ: График функции состоит из трех частей: луча $y = -4x - 2$ для $x < -1.5$, горизонтального отрезка $y=4$ на промежутке $[-1.5, 0.5]$ и луча $y = 4x + 2$ для $x \ge 0.5$. Точки излома: $(-1.5, 4)$ и $(0.5, 4)$.

---

б) $y = |2x - 3| + |1 - x|$

Аналогично предыдущему пункту, найдем нули подмодульных выражений.

1) $2x - 3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = 1.5$

2) $1 - x = 0 \Rightarrow x = 1$

Точки $x=1$ и $x=1.5$ разбивают числовую ось на три интервала. Раскроем модули на каждом из них.

1. При $x < 1$:

Выражение $2x - 3$ отрицательно, а $1 - x$ положительно. Например, при $x=0$: $2(0)-3=-3<0$ и $1-0=1>0$.

Значит, $|2x - 3| = -(2x - 3) = -2x + 3$ и $|1 - x| = 1 - x$.

Функция принимает вид: $y = (-2x + 3) + (1 - x) = -3x + 4$.

2. При $1 \le x < 1.5$:

Оба выражения, $2x - 3$ и $1 - x$, отрицательны. Например, при $x=1.2$: $2(1.2)-3 = -0.6 < 0$ и $1-1.2=-0.2<0$.

Значит, $|2x - 3| = -(2x - 3) = -2x + 3$ и $|1 - x| = -(1 - x) = x - 1$.

Функция принимает вид: $y = (-2x + 3) + (x - 1) = -x + 2$.

3. При $x \ge 1.5$:

Выражение $2x - 3$ положительно, а $1 - x$ отрицательно. Например, при $x=2$: $2(2)-3=1>0$ и $1-2=-1<0$.

Значит, $|2x - 3| = 2x - 3$ и $|1 - x| = -(1 - x) = x - 1$.

Функция принимает вид: $y = (2x - 3) + (x - 1) = 3x - 4$.

Таким образом, мы получили кусочно-линейную функцию:

$y = \begin{cases} -3x + 4, & \text{если } x < 1 \\ -x + 2, & \text{если } 1 \le x < 1.5 \\ 3x - 4, & \text{если } x \ge 1.5 \end{cases}$

Построение графика:

1. На интервале $(-\infty, 1)$ строим луч $y = -3x + 4$. Он начинается в точке $(1, 1)$, так как $y(1) = -3(1)+4=1$. Возьмем контрольную точку $x=0$, $y(0) = 4$.
2. На отрезке $[1, 1.5]$ строим отрезок прямой $y = -x + 2$. Он соединяет точку $(1, 1)$ с точкой $(1.5, 0.5)$, так как $y(1.5) = -1.5+2=0.5$.
3. На интервале $[1.5, +\infty)$ строим луч $y = 3x - 4$. Он начинается в точке $(1.5, 0.5)$. Возьмем контрольную точку $x=2$, $y(2) = 3(2)-4=2$.

Ответ: График функции состоит из трех частей: луча $y = -3x + 4$ для $x < 1$, отрезка прямой $y = -x + 2$ на промежутке $[1, 1.5]$ и луча $y = 3x - 4$ для $x \ge 1.5$. Точки излома графика: $(1, 1)$ и $(1.5, 0.5)$.