Номер 40, страница 414 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 40, страница 414.

Условие.

40 $y = \sqrt{(x+2)^2} + \sqrt{(x-2)^2}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Дана функция $y = \sqrt{(x + 2)^2} + \sqrt{(x - 2)^2}$.

Для упрощения этого выражения воспользуемся тождеством $\sqrt{a^2} = |a|$, где $|a|$ — это модуль числа $a$. Применим это свойство к каждому слагаемому в правой части уравнения:

$y = |x + 2| + |x - 2|$.

Теперь необходимо раскрыть модули. Поведение функции зависит от знаков выражений, стоящих под знаком модуля. Найдем точки, в которых эти выражения обращаются в ноль, так как в этих точках их знак может меняться.

$x + 2 = 0 \implies x = -2$
$x - 2 = 0 \implies x = 2$

Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка: $(-\infty; -2)$, $[-2; 2)$ и $[2; +\infty)$. Рассмотрим функцию на каждом из этих промежутков.

1. При $x < -2$
На этом промежутке оба подмодульных выражения отрицательны:
$x + 2 < 0$
$x - 2 < 0$
Согласно определению модуля ($|a| = -a$ при $a<0$), раскрываем оба модуля с изменением знака:
$y = -(x + 2) - (x - 2) = -x - 2 - x + 2 = -2x$.

2. При $-2 \le x < 2$
На этом промежутке первое подмодульное выражение неотрицательно, а второе — отрицательно:
$x + 2 \ge 0$
$x - 2 < 0$
Раскрываем модули в соответствии с их знаками:
$y = (x + 2) - (x - 2) = x + 2 - x + 2 = 4$.

3. При $x \ge 2$
На этом промежутке оба подмодульных выражения неотрицательны:
$x + 2 > 0$
$x - 2 \ge 0$
Согласно определению модуля ($|a| = a$ при $a \ge 0$), раскрываем оба модуля без изменения знака:
$y = (x + 2) + (x - 2) = x + 2 + x - 2 = 2x$.

Объединяя полученные результаты, мы можем представить исходную функцию в виде кусочно-заданной функции.

Ответ: $y = \begin{cases} -2x, & \text{если } x < -2 \\ 4, & \text{если } -2 \le x < 2 \\ 2x, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$