Номер 34, страница 414 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Задания для повторения - номер 34, страница 414.
№34 (с. 414)
Условие. №34 (с. 414)
скриншот условия

34 a) Первый, второй и четвёртый члены арифметической прогрессии одновременно являются соответственно первым, вторым и третьим членами некоторой геометрической прогрессии. Найдите все значения, которые может принимать знаменатель геометрической прогрессии.
б) Первый, четвёртый и пятый члены арифметической прогрессии одновременно являются соответственно первым, вторым и третьим членами некоторой геометрической прогрессии. Найдите все значения, которые может принимать знаменатель геометрической прогрессии.
Решение 1. №34 (с. 414)


Решение 2. №34 (с. 414)

Решение 4. №34 (с. 414)
а) Пусть $\{a_n\}$ — арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d$. Тогда ее члены задаются формулой $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Пусть $\{b_n\}$ — геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Тогда ее члены задаются формулой $b_n = b_1 q^{n-1}$.
По условию задачи, первый, второй и четвёртый члены арифметической прогрессии являются соответственно первым, вторым и третьим членами геометрической прогрессии. Запишем это в виде системы равенств:
$b_1 = a_1$
$b_2 = a_2 = a_1 + d$
$b_3 = a_4 = a_1 + 3d$
Для любой геометрической прогрессии (кроме случая, когда члены равны нулю) выполняется характеристическое свойство: квадрат любого члена, начиная со второго, равен произведению соседних с ним членов. Для наших трёх членов $b_1, b_2, b_3$ это свойство имеет вид $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.
Подставим в это равенство выражения для $b_1, b_2, b_3$ через $a_1$ и $d$:
$(a_1 + d)^2 = a_1 (a_1 + 3d)$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$a_1^2 + 2a_1d + d^2 = a_1^2 + 3a_1d$
$d^2 + 2a_1d - 3a_1d = 0$
$d^2 - a_1d = 0$
$d(d - a_1) = 0$
Это уравнение имеет два решения:
1. $d = 0$.
Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все её члены равны первому члену: $a_n = a_1$ для любого $n$. Тогда члены геометрической прогрессии также равны: $b_1 = a_1, b_2 = a_1, b_3 = a_1$. Если предположить, что прогрессия не состоит из одних нулей (иначе знаменатель $q$ не определён, так как $b_1=0$), то $a_1 \neq 0$. В этом случае знаменатель геометрической прогрессии $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{a_1}{a_1} = 1$.
2. $d - a_1 = 0$, то есть $d = a_1$.
Рассмотрим случай, когда $a_1 \neq 0$ (если $a_1=0$, то и $d=0$, что является первым случаем). Подставим $d=a_1$ в выражения для членов геометрической прогрессии:
$b_1 = a_1$
$b_2 = a_1 + d = a_1 + a_1 = 2a_1$
$b_3 = a_1 + 3d = a_1 + 3a_1 = 4a_1$
Тогда знаменатель геометрической прогрессии $q$ можно найти как отношение второго члена к первому: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2a_1}{a_1} = 2$.
Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии может принимать два значения.
Ответ: $1; 2$.
б) Аналогично пункту а), обозначим члены арифметической прогрессии как $a_n = a_1 + (n-1)d$ и члены геометрической прогрессии как $b_n = b_1 q^{n-1}$.
По условию, первый, четвёртый и пятый члены арифметической прогрессии являются соответственно первым, вторым и третьим членами геометрической прогрессии. Запишем это в виде системы:
$b_1 = a_1$
$b_2 = a_4 = a_1 + 3d$
$b_3 = a_5 = a_1 + 4d$
Используем характеристическое свойство геометрической прогрессии $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.
Подставим выражения через $a_1$ и $d$:
$(a_1 + 3d)^2 = a_1 (a_1 + 4d)$
Раскроем скобки и преобразуем уравнение:
$a_1^2 + 6a_1d + 9d^2 = a_1^2 + 4a_1d$
$9d^2 + 6a_1d - 4a_1d = 0$
$9d^2 + 2a_1d = 0$
$d(9d + 2a_1) = 0$
Это уравнение также даёт два возможных случая:
1. $d = 0$.
Этот случай полностью аналогичен пункту а). Если $a_1 \neq 0$, то обе прогрессии постоянны, и знаменатель геометрической прогрессии $q = 1$.
2. $9d + 2a_1 = 0$, то есть $d = -\frac{2}{9}a_1$.
Предполагая $a_1 \neq 0$, найдём члены геометрической прогрессии:
$b_1 = a_1$
$b_2 = a_1 + 3d = a_1 + 3(-\frac{2}{9}a_1) = a_1 - \frac{6}{9}a_1 = a_1 - \frac{2}{3}a_1 = \frac{1}{3}a_1$
$b_3 = a_1 + 4d = a_1 + 4(-\frac{2}{9}a_1) = a_1 - \frac{8}{9}a_1 = \frac{1}{9}a_1$
Теперь найдём знаменатель $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{1}{3}a_1}{a_1} = \frac{1}{3}$.
Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии может принимать два значения.
Ответ: $1; \frac{1}{3}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 34 расположенного на странице 414 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №34 (с. 414), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.