Номер 34, страница 414 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 34, страница 414.

Условие.

34 a) Первый, второй и четвёртый члены арифметической прогрессии одновременно являются соответственно первым, вторым и третьим членами некоторой геометрической прогрессии. Найдите все значения, которые может принимать знаменатель геометрической прогрессии.

б) Первый, четвёртый и пятый члены арифметической прогрессии одновременно являются соответственно первым, вторым и третьим членами некоторой геометрической прогрессии. Найдите все значения, которые может принимать знаменатель геометрической прогрессии.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Пусть $\{a_n\}$ — арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d$. Тогда ее члены задаются формулой $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Пусть $\{b_n\}$ — геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Тогда ее члены задаются формулой $b_n = b_1 q^{n-1}$.

По условию задачи, первый, второй и четвёртый члены арифметической прогрессии являются соответственно первым, вторым и третьим членами геометрической прогрессии. Запишем это в виде системы равенств:

$b_1 = a_1$

$b_2 = a_2 = a_1 + d$

$b_3 = a_4 = a_1 + 3d$

Для любой геометрической прогрессии (кроме случая, когда члены равны нулю) выполняется характеристическое свойство: квадрат любого члена, начиная со второго, равен произведению соседних с ним членов. Для наших трёх членов $b_1, b_2, b_3$ это свойство имеет вид $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Подставим в это равенство выражения для $b_1, b_2, b_3$ через $a_1$ и $d$:

$(a_1 + d)^2 = a_1 (a_1 + 3d)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$a_1^2 + 2a_1d + d^2 = a_1^2 + 3a_1d$

$d^2 + 2a_1d - 3a_1d = 0$

$d^2 - a_1d = 0$

$d(d - a_1) = 0$

Это уравнение имеет два решения:

1. $d = 0$.

Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все её члены равны первому члену: $a_n = a_1$ для любого $n$. Тогда члены геометрической прогрессии также равны: $b_1 = a_1, b_2 = a_1, b_3 = a_1$. Если предположить, что прогрессия не состоит из одних нулей (иначе знаменатель $q$ не определён, так как $b_1=0$), то $a_1 \neq 0$. В этом случае знаменатель геометрической прогрессии $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{a_1}{a_1} = 1$.

2. $d - a_1 = 0$, то есть $d = a_1$.

Рассмотрим случай, когда $a_1 \neq 0$ (если $a_1=0$, то и $d=0$, что является первым случаем). Подставим $d=a_1$ в выражения для членов геометрической прогрессии:

$b_1 = a_1$

$b_2 = a_1 + d = a_1 + a_1 = 2a_1$

$b_3 = a_1 + 3d = a_1 + 3a_1 = 4a_1$

Тогда знаменатель геометрической прогрессии $q$ можно найти как отношение второго члена к первому: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2a_1}{a_1} = 2$.

Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии может принимать два значения.

Ответ: $1; 2$.

б) Аналогично пункту а), обозначим члены арифметической прогрессии как $a_n = a_1 + (n-1)d$ и члены геометрической прогрессии как $b_n = b_1 q^{n-1}$.

По условию, первый, четвёртый и пятый члены арифметической прогрессии являются соответственно первым, вторым и третьим членами геометрической прогрессии. Запишем это в виде системы:

$b_1 = a_1$

$b_2 = a_4 = a_1 + 3d$

$b_3 = a_5 = a_1 + 4d$

Используем характеристическое свойство геометрической прогрессии $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Подставим выражения через $a_1$ и $d$:

$(a_1 + 3d)^2 = a_1 (a_1 + 4d)$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$a_1^2 + 6a_1d + 9d^2 = a_1^2 + 4a_1d$

$9d^2 + 6a_1d - 4a_1d = 0$

$9d^2 + 2a_1d = 0$

$d(9d + 2a_1) = 0$

Это уравнение также даёт два возможных случая:

1. $d = 0$.

Этот случай полностью аналогичен пункту а). Если $a_1 \neq 0$, то обе прогрессии постоянны, и знаменатель геометрической прогрессии $q = 1$.

2. $9d + 2a_1 = 0$, то есть $d = -\frac{2}{9}a_1$.

Предполагая $a_1 \neq 0$, найдём члены геометрической прогрессии:

$b_1 = a_1$

$b_2 = a_1 + 3d = a_1 + 3(-\frac{2}{9}a_1) = a_1 - \frac{6}{9}a_1 = a_1 - \frac{2}{3}a_1 = \frac{1}{3}a_1$

$b_3 = a_1 + 4d = a_1 + 4(-\frac{2}{9}a_1) = a_1 - \frac{8}{9}a_1 = \frac{1}{9}a_1$

Теперь найдём знаменатель $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{1}{3}a_1}{a_1} = \frac{1}{3}$.

Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии может принимать два значения.

Ответ: $1; \frac{1}{3}$.