Номер 27, страница 412 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 27, страница 412.

Условие.

27 Упростите выражение:

$\left(\frac{1}{a^2 - \sqrt{x+a^4}} + \frac{1}{a^2 + \sqrt{x+a^4}}\right)^{-1} + \left(\frac{2a^2+a^4}{x+a^4} + \frac{1}{1+a^4x^{-1}} - 1\right)^{-1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для упрощения данного выражения разобьем решение на последовательные шаги.

1. Упрощение первого слагаемого

Первое слагаемое представляет собой выражение $\left( \frac{1}{a^2 - \sqrt{x+a^4}} + \frac{1}{a^2 + \sqrt{x+a^4}} \right)^{-1}$. Сначала выполним сложение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю, который равен $(a^2 - \sqrt{x+a^4})(a^2 + \sqrt{x+a^4})$. Используя формулу разности квадратов $(u-v)(u+v) = u^2-v^2$, получаем:

$(a^2 - \sqrt{x+a^4})(a^2 + \sqrt{x+a^4}) = (a^2)^2 - (\sqrt{x+a^4})^2 = a^4 - (x+a^4) = a^4 - x - a^4 = -x$.

Теперь сложим дроби:

$\frac{1}{a^2 - \sqrt{x+a^4}} + \frac{1}{a^2 + \sqrt{x+a^4}} = \frac{(a^2 + \sqrt{x+a^4}) + (a^2 - \sqrt{x+a^4})}{(a^2 - \sqrt{x+a^4})(a^2 + \sqrt{x+a^4})} = \frac{2a^2}{-x} = -\frac{2a^2}{x}$.

Возведем полученный результат в степень -1:

$\left(-\frac{2a^2}{x}\right)^{-1} = -\frac{x}{2a^2}$.

2. Упрощение второго слагаемого

Второе слагаемое: $\left( \frac{2a^2 + a^4}{x + a^4} + \frac{1}{1 + a^4 x^{-1}} - 1 \right)^{-1}$. Упростим выражение в скобках. Начнем с преобразования дроби $\frac{1}{1 + a^4 x^{-1}}$:

$\frac{1}{1 + a^4 x^{-1}} = \frac{1}{1 + \frac{a^4}{x}} = \frac{1}{\frac{x+a^4}{x}} = \frac{x}{x+a^4}$.

Подставим это в выражение в скобках и приведем к общему знаменателю:

$\frac{2a^2 + a^4}{x + a^4} + \frac{x}{x+a^4} - 1 = \frac{2a^2 + a^4 + x}{x + a^4} - \frac{x+a^4}{x+a^4} = \frac{(2a^2 + a^4 + x) - (x+a^4)}{x + a^4} = \frac{2a^2 + a^4 + x - x - a^4}{x + a^4} = \frac{2a^2}{x + a^4}$.

Теперь возведем результат в степень -1:

$\left(\frac{2a^2}{x + a^4}\right)^{-1} = \frac{x + a^4}{2a^2}$.

3. Сложение результатов

Осталось сложить полученные выражения для первого и второго слагаемых:

$-\frac{x}{2a^2} + \frac{x + a^4}{2a^2}$.

Так как знаменатели одинаковы, сложим числители:

$\frac{-x + (x + a^4)}{2a^2} = \frac{-x + x + a^4}{2a^2} = \frac{a^4}{2a^2}$.

Сократим полученную дробь (при условии $a \neq 0$):

$\frac{a^4}{2a^2} = \frac{a^2}{2}$.

Ответ: $\frac{a^2}{2}$