Номер 20, страница 411 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 20, страница 411.

Условие.

20 Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 2 даёт остаток 1, при делении на 19 даёт остаток 3, делится нацело на 7.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Пусть искомое натуральное число — это $N$. Согласно условию задачи, число $N$ должно удовлетворять трем условиям, которые можно записать в виде системы сравнений:

1. При делении на 2 даёт остаток 1: $N \equiv 1 \pmod{2}$.
2. При делении на 19 даёт остаток 3: $N \equiv 3 \pmod{19}$.
3. Делится нацело на 7: $N \equiv 0 \pmod{7}$.

Из третьего условия следует, что число $N$ является кратным 7, то есть его можно представить в виде $N = 7k$, где $k$ — некоторое натуральное число (поскольку $N$ — натуральное).

Подставим выражение $N = 7k$ в два других сравнения, чтобы найти, каким должен быть коэффициент $k$.

Рассмотрим первое условие: $N \equiv 1 \pmod{2}$.
$7k \equiv 1 \pmod{2}$.
Так как $7$ при делении на $2$ дает остаток $1$, то $7 \equiv 1 \pmod{2}$. Сравнение принимает вид:
$1 \cdot k \equiv 1 \pmod{2}$, или просто $k \equiv 1 \pmod{2}$.
Это означает, что $k$ — нечётное число.

Рассмотрим второе условие: $N \equiv 3 \pmod{19}$.
$7k \equiv 3 \pmod{19}$.
Чтобы решить это сравнение относительно $k$, нам нужно найти число, обратное к 7 по модулю 19. То есть, найти такое целое число $x$, что $7x \equiv 1 \pmod{19}$. Можно заметить, что $7 \cdot 11 = 77$, а $77 = 4 \cdot 19 + 1$. Таким образом, $7 \cdot 11 \equiv 1 \pmod{19}$, и обратным элементом к 7 является 11.
Умножим обе части сравнения $7k \equiv 3 \pmod{19}$ на 11:
$11 \cdot (7k) \equiv 11 \cdot 3 \pmod{19}$
$1 \cdot k \equiv 33 \pmod{19}$
$k \equiv 33 \pmod{19}$.
Поскольку $33 = 1 \cdot 19 + 14$, то $33 \equiv 14 \pmod{19}$. Отсюда получаем $k \equiv 14 \pmod{19}$.

Итак, мы ищем наименьшее натуральное число $k$, которое одновременно удовлетворяет двум условиям: $k$ является нечётным и при делении на 19 даёт остаток 14.

Числа $k$, дающие остаток 14 при делении на 19, образуют последовательность: $14, 33, 52, 71, \dots$ (получаются по формуле $k = 19m + 14$ для $m = 0, 1, 2, \dots$).
Нам нужно найти первое нечётное число в этой последовательности.

Проверяем по порядку:
- $k = 14$ — чётное, не подходит.
- $k = 33$ — нечётное, подходит.

Следовательно, наименьшее подходящее значение для $k$ — это 33.

Теперь находим искомое число $N$:
$N = 7k = 7 \cdot 33 = 231$.

Для проверки убедимся, что число 231 удовлетворяет всем исходным условиям:
При делении на 2: $231 = 2 \cdot 115 + 1$ (остаток 1).
При делении на 19: $231 = 19 \cdot 12 + 3$ (остаток 3).
При делении на 7: $231 = 7 \cdot 33$ (делится нацело).
Все условия выполнены.

Ответ: 231