Номер 15, страница 411 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 15, страница 411.

Условие.

15 а) $3^{\log_2 5} \cdot 5^{-\log_2 3};$

б) $(\log_{\sqrt{2}} 9)(\log_8 3)^{-1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $3^{\log_2 5} \cdot 5^{-\log_2 3}$

Для решения воспользуемся свойством логарифма $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$. Применим это свойство к первому множителю $3^{\log_2 5}$.

$3^{\log_2 5} = 5^{\log_2 3}$

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$5^{\log_2 3} \cdot 5^{-\log_2 3}$

Используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, получим:

$5^{\log_2 3 + (-\log_2 3)} = 5^{\log_2 3 - \log_2 3} = 5^0$

Любое число в нулевой степени равно 1.

$5^0 = 1$

Ответ: 1

б) $(\log_{\sqrt{2}} 9)(\log_8 3)^{-1}$

Сначала преобразуем второй множитель, используя свойство степени $a^{-1} = \frac{1}{a}$:

$(\log_8 3)^{-1} = \frac{1}{\log_8 3}$

Теперь применим формулу перехода к другому основанию для логарифма: $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$.

$\frac{1}{\log_8 3} = \log_3 8$

Исходное выражение примет вид:

$(\log_{\sqrt{2}} 9) \cdot (\log_3 8)$

Упростим каждый логарифм по отдельности. Для этого представим основания и аргументы логарифмов в виде степеней с одинаковыми основаниями, где это возможно, и воспользуемся свойством $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$.

$\log_{\sqrt{2}} 9 = \log_{2^{1/2}} 3^2 = \frac{2}{1/2} \log_2 3 = 4 \log_2 3$

$\log_3 8 = \log_3 2^3 = 3 \log_3 2$

Подставим упрощенные выражения обратно:

$(4 \log_2 3) \cdot (3 \log_3 2) = 12 \cdot (\log_2 3 \cdot \log_3 2)$

Используем еще одно свойство логарифмов: $\log_a b \cdot \log_b a = 1$.

$12 \cdot 1 = 12$

Ответ: 12