Номер 9, страница 410 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Задания для повторения - номер 9, страница 410.
№9 (с. 410)
Условие. №9 (с. 410)
скриншот условия

9 Докажите, что данное число является целым, и найдите его:
а) $\sqrt{7-4\sqrt{3}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}$;
б) $\sqrt{9-4\sqrt{5}}+\sqrt{14-6\sqrt{5}}$.
Решение 1. №9 (с. 410)


Решение 2. №9 (с. 410)

Решение 4. №9 (с. 410)
а) $\sqrt{7-4\sqrt{3}} + \sqrt{4-2\sqrt{3}}$
Для доказательства того, что данное число является целым, и нахождения его значения, мы упростим каждое слагаемое, представив подкоренные выражения в виде полных квадратов. Это делается с помощью формулы квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
1. Упростим первое слагаемое $\sqrt{7-4\sqrt{3}}$.
Представим $4\sqrt{3}$ в виде $2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}$. Тогда по формуле полного квадрата $2ab = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}$. Можно предположить, что $a=2$ и $b=\sqrt{3}$. Проверим, равно ли $a^2+b^2$ числу 7: $a^2+b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$. Предположение верно. Таким образом, $7-4\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^2$.
Следовательно, $\sqrt{7-4\sqrt{3}} = \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} = |2-\sqrt{3}|$. Так как $2 = \sqrt{4}$ и $\sqrt{4} > \sqrt{3}$, то выражение $2-\sqrt{3}$ положительно, и модуль можно опустить: $|2-\sqrt{3}| = 2-\sqrt{3}$.
2. Упростим второе слагаемое $\sqrt{4-2\sqrt{3}}$.
Представим $2\sqrt{3}$ в виде $2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3}$. Можно предположить, что $a=\sqrt{3}$ и $b=1$. Проверим, равно ли $a^2+b^2$ числу 4: $a^2+b^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$. Предположение верно. Таким образом, $4-2\sqrt{3} = (\sqrt{3}-1)^2$.
Следовательно, $\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2} = |\sqrt{3}-1|$. Так как $\sqrt{3} > \sqrt{1}=1$, то выражение $\sqrt{3}-1$ положительно, и модуль можно опустить: $|\sqrt{3}-1| = \sqrt{3}-1$.
3. Сложим полученные результаты:
$(2-\sqrt{3}) + (\sqrt{3}-1) = 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - 1 = 1$.
Число 1 является целым. Таким образом, мы доказали, что данное число является целым, и нашли его значение.
Ответ: 1
б) $\sqrt{9-4\sqrt{5}} + \sqrt{14-6\sqrt{5}}$
Действуем аналогично пункту а), используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
1. Упростим первое слагаемое $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$.
Представим $4\sqrt{5}$ в виде $2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5}$. Можно предположить, что $a=2$ и $b=\sqrt{5}$. Проверим, равно ли $a^2+b^2$ числу 9: $a^2+b^2 = 2^2 + (\sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9$. Предположение верно. Таким образом, $9-4\sqrt{5} = (2-\sqrt{5})^2$.
Следовательно, $\sqrt{9-4\sqrt{5}} = \sqrt{(2-\sqrt{5})^2} = |2-\sqrt{5}|$. Так как $2 = \sqrt{4}$ и $\sqrt{4} < \sqrt{5}$, то выражение $2-\sqrt{5}$ отрицательно. Поэтому, раскрывая модуль, меняем знак: $|2-\sqrt{5}| = -(2-\sqrt{5}) = \sqrt{5}-2$.
2. Упростим второе слагаемое $\sqrt{14-6\sqrt{5}}$.
Представим $6\sqrt{5}$ в виде $2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5}$. Можно предположить, что $a=3$ и $b=\sqrt{5}$. Проверим, равно ли $a^2+b^2$ числу 14: $a^2+b^2 = 3^2 + (\sqrt{5})^2 = 9 + 5 = 14$. Предположение верно. Таким образом, $14-6\sqrt{5} = (3-\sqrt{5})^2$.
Следовательно, $\sqrt{14-6\sqrt{5}} = \sqrt{(3-\sqrt{5})^2} = |3-\sqrt{5}|$. Так как $3 = \sqrt{9}$ и $\sqrt{9} > \sqrt{5}$, то выражение $3-\sqrt{5}$ положительно, и модуль можно опустить: $|3-\sqrt{5}| = 3-\sqrt{5}$.
3. Сложим полученные результаты:
$(\sqrt{5}-2) + (3-\sqrt{5}) = \sqrt{5} - 2 + 3 - \sqrt{5} = 1$.
Число 1 является целым. Таким образом, мы доказали, что данное число является целым, и нашли его значение.
Ответ: 1
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 9 расположенного на странице 410 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9 (с. 410), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.