Номер 9, страница 410 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 9, страница 410.

Условие.

9 Докажите, что данное число является целым, и найдите его:

а) $\sqrt{7-4\sqrt{3}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}$;

б) $\sqrt{9-4\sqrt{5}}+\sqrt{14-6\sqrt{5}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\sqrt{7-4\sqrt{3}} + \sqrt{4-2\sqrt{3}}$

Для доказательства того, что данное число является целым, и нахождения его значения, мы упростим каждое слагаемое, представив подкоренные выражения в виде полных квадратов. Это делается с помощью формулы квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

1. Упростим первое слагаемое $\sqrt{7-4\sqrt{3}}$.

Представим $4\sqrt{3}$ в виде $2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}$. Тогда по формуле полного квадрата $2ab = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}$. Можно предположить, что $a=2$ и $b=\sqrt{3}$. Проверим, равно ли $a^2+b^2$ числу 7: $a^2+b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$. Предположение верно. Таким образом, $7-4\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^2$.

Следовательно, $\sqrt{7-4\sqrt{3}} = \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} = |2-\sqrt{3}|$. Так как $2 = \sqrt{4}$ и $\sqrt{4} > \sqrt{3}$, то выражение $2-\sqrt{3}$ положительно, и модуль можно опустить: $|2-\sqrt{3}| = 2-\sqrt{3}$.

2. Упростим второе слагаемое $\sqrt{4-2\sqrt{3}}$.

Представим $2\sqrt{3}$ в виде $2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3}$. Можно предположить, что $a=\sqrt{3}$ и $b=1$. Проверим, равно ли $a^2+b^2$ числу 4: $a^2+b^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$. Предположение верно. Таким образом, $4-2\sqrt{3} = (\sqrt{3}-1)^2$.

Следовательно, $\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2} = |\sqrt{3}-1|$. Так как $\sqrt{3} > \sqrt{1}=1$, то выражение $\sqrt{3}-1$ положительно, и модуль можно опустить: $|\sqrt{3}-1| = \sqrt{3}-1$.

3. Сложим полученные результаты:

$(2-\sqrt{3}) + (\sqrt{3}-1) = 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - 1 = 1$.

Число 1 является целым. Таким образом, мы доказали, что данное число является целым, и нашли его значение.

Ответ: 1

б) $\sqrt{9-4\sqrt{5}} + \sqrt{14-6\sqrt{5}}$

Действуем аналогично пункту а), используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

1. Упростим первое слагаемое $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$.

Представим $4\sqrt{5}$ в виде $2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5}$. Можно предположить, что $a=2$ и $b=\sqrt{5}$. Проверим, равно ли $a^2+b^2$ числу 9: $a^2+b^2 = 2^2 + (\sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9$. Предположение верно. Таким образом, $9-4\sqrt{5} = (2-\sqrt{5})^2$.

Следовательно, $\sqrt{9-4\sqrt{5}} = \sqrt{(2-\sqrt{5})^2} = |2-\sqrt{5}|$. Так как $2 = \sqrt{4}$ и $\sqrt{4} < \sqrt{5}$, то выражение $2-\sqrt{5}$ отрицательно. Поэтому, раскрывая модуль, меняем знак: $|2-\sqrt{5}| = -(2-\sqrt{5}) = \sqrt{5}-2$.

2. Упростим второе слагаемое $\sqrt{14-6\sqrt{5}}$.

Представим $6\sqrt{5}$ в виде $2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5}$. Можно предположить, что $a=3$ и $b=\sqrt{5}$. Проверим, равно ли $a^2+b^2$ числу 14: $a^2+b^2 = 3^2 + (\sqrt{5})^2 = 9 + 5 = 14$. Предположение верно. Таким образом, $14-6\sqrt{5} = (3-\sqrt{5})^2$.

Следовательно, $\sqrt{14-6\sqrt{5}} = \sqrt{(3-\sqrt{5})^2} = |3-\sqrt{5}|$. Так как $3 = \sqrt{9}$ и $\sqrt{9} > \sqrt{5}$, то выражение $3-\sqrt{5}$ положительно, и модуль можно опустить: $|3-\sqrt{5}| = 3-\sqrt{5}$.

3. Сложим полученные результаты:

$(\sqrt{5}-2) + (3-\sqrt{5}) = \sqrt{5} - 2 + 3 - \sqrt{5} = 1$.

Число 1 является целым. Таким образом, мы доказали, что данное число является целым, и нашли его значение.

Ответ: 1