Номер 6, страница 410 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 6, страница 410.

Условие.

6 Сколько натуральных чисел от $1$ до $2001$ не делятся ни на $2$, ни на $7$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для нахождения количества натуральных чисел от 1 до 2001, которые не делятся ни на 2, ни на 7, воспользуемся методом включений-исключений.

Общее количество натуральных чисел в данном диапазоне составляет 2001.

1. Сначала найдем количество чисел, которые делятся на 2. Для этого разделим 2001 на 2 и возьмем целую часть:
$N_2 = \lfloor \frac{2001}{2} \rfloor = 1000$
Таким образом, 1000 чисел делятся на 2.

2. Затем найдем количество чисел, которые делятся на 7:
$N_7 = \lfloor \frac{2001}{7} \rfloor = 285$
Таким образом, 285 чисел делятся на 7.

3. Если мы просто сложим $N_2$ и $N_7$, мы дважды посчитаем числа, которые делятся и на 2, и на 7 одновременно. Это числа, которые делятся на их наименьшее общее кратное, то есть на $2 \times 7 = 14$. Найдем количество таких чисел:
$N_{14} = \lfloor \frac{2001}{14} \rfloor = 142$
Таким образом, 142 числа делятся и на 2, и на 7.

4. Теперь мы можем найти количество чисел, которые делятся хотя бы на одно из этих чисел (на 2 или на 7), используя формулу включений-исключений:
$N_{2 \text{ или } 7} = N_2 + N_7 - N_{14} = 1000 + 285 - 142 = 1143$
Итак, 1143 числа в диапазоне от 1 до 2001 делятся на 2 или на 7.

5. Наконец, чтобы найти количество чисел, которые не делятся ни на 2, ни на 7, нужно из общего количества чисел вычесть те, которые делятся на 2 или на 7:
$N_{недел} = 2001 - N_{2 \text{ или } 7} = 2001 - 1143 = 858$

Ответ: 858