Номер 12, страница 411 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 12, страница 411.

Условие.

12 a) $\operatorname{tg} 20^\circ + \operatorname{tg} 25^\circ + \operatorname{ctg} 70^\circ \operatorname{ctg} 245^\circ;$

б) $2 + \log_2 \sin 7^\circ 30' + \log_2 \sin 82^\circ 30' - \log_{0.5} \sin 75^\circ;$

в) $\sin \left(\arccos \frac{1}{3} - \operatorname{arctg} 2\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Упростим данное выражение, используя тригонометрические тождества и формулы приведения.

Сначала преобразуем $ctg 70°$ и $ctg 245°$:

$ctg 70° = ctg(90° - 20°) = tg 20°$

$ctg 245° = ctg(180° + 65°) = ctg 65° = ctg(90° - 25°) = tg 25°$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$tg 20° + tg 25° + ctg 70° ctg 245° = tg 20° + tg 25° + tg 20° tg 25°$

Рассмотрим формулу тангенса суммы двух углов:

$tg(α + β) = \frac{tgα + tgβ}{1 - tgα tgβ}$

Пусть $α = 20°$ и $β = 25°$. Тогда $α + β = 45°$, и мы знаем, что $tg(45°) = 1$.

$tg(20° + 25°) = \frac{tg 20° + tg 25°}{1 - tg 20° tg 25°} = 1$

Из этого равенства можно выразить сумму $tg 20° + tg 25°$:

$tg 20° + tg 25° = 1 \cdot (1 - tg 20° tg 25°) = 1 - tg 20° tg 25°$

Теперь подставим полученное выражение в наше преобразованное выражение:

$(1 - tg 20° tg 25°) + tg 20° tg 25° = 1$

Ответ: 1

б)

Преобразуем исходное выражение $2 + log_2 sin 7°30' + log_2 sin 82°30' - log_{0.5} sin 75°$.

Сначала приведем все логарифмы к основанию 2. Используем формулу смены основания $log_a b = \frac{log_c b}{log_c a}$:

$log_{0.5} sin 75° = log_{2^{-1}} sin 75° = \frac{log_2 sin 75°}{log_2 2^{-1}} = \frac{log_2 sin 75°}{-1} = -log_2 sin 75°$

Тогда $- log_{0.5} sin 75° = -(-log_2 sin 75°) = log_2 sin 75°$.

Переведем угловые минуты в десятичные доли градуса: $7°30' = 7.5°$ и $82°30' = 82.5°$.

Выражение принимает вид:

$2 + log_2 sin 7.5° + log_2 sin 82.5° + log_2 sin 75°$

Используя свойство суммы логарифмов $log_a b + log_a c = log_a(bc)$, объединим логарифмы:

$2 + log_2(sin 7.5° \cdot sin 82.5° \cdot sin 75°)$

Упростим произведение синусов. Используем формулу приведения $sin(90° - α) = cos α$:

$sin 82.5° = sin(90° - 7.5°) = cos 7.5°$

Произведение становится: $sin 7.5° \cdot cos 7.5° \cdot sin 75°$.

Применим формулу синуса двойного угла $sin(2α) = 2 sinα cosα$, из которой следует $sinα cosα = \frac{1}{2} sin(2α)$:

$sin 7.5° \cdot cos 7.5° = \frac{1}{2} sin(2 \cdot 7.5°) = \frac{1}{2} sin(15°)$

Теперь произведение равно: $\frac{1}{2} sin(15°) \cdot sin 75°$.

Снова используем формулу приведения: $sin 75° = sin(90° - 15°) = cos 15°$.

Получаем: $\frac{1}{2} sin(15°) \cdot cos 15°$.

И еще раз применяем формулу синуса двойного угла:

$\frac{1}{2} (sin 15° \cdot cos 15°) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} sin(2 \cdot 15°)) = \frac{1}{4} sin(30°)$

Так как $sin 30° = \frac{1}{2}$, то значение произведения равно $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.

Подставим это значение обратно в исходное выражение:

$2 + log_2(\frac{1}{8}) = 2 + log_2(2^{-3}) = 2 - 3 = -1$

Ответ: -1

в)

Для вычисления значения выражения $sin(arccos\frac{1}{3} - arctg 2)$ воспользуемся формулой синуса разности:

$sin(α - β) = sinα cosβ - cosα sinβ$

Пусть $α = arccos\frac{1}{3}$ и $β = arctg 2$.

Найдем значения тригонометрических функций для углов $α$ и $β$.

1. Для $α = arccos\frac{1}{3}$:

По определению, $cosα = \frac{1}{3}$. Область значений арккосинуса — $[0, π]$. Так как $cosα > 0$, угол $α$ находится в первой четверти, следовательно, $sinα > 0$.

Из основного тригонометрического тождества $sin^2α + cos^2α = 1$ находим $sinα$:

$sinα = \sqrt{1 - cos^2α} = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

2. Для $β = arctg 2$:

По определению, $tgβ = 2$. Область значений арктангенса — $(-\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$. Так как $tgβ > 0$, угол $β$ находится в первой четверти, следовательно, $sinβ > 0$ и $cosβ > 0$.

Из тождества $1 + tg^2β = \frac{1}{cos^2β}$ находим $cosβ$:

$cos^2β = \frac{1}{1 + tg^2β} = \frac{1}{1 + 2^2} = \frac{1}{5} \Rightarrow cosβ = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Зная $tgβ$ и $cosβ$, находим $sinβ$:

$sinβ = tgβ \cdot cosβ = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. Подставляем найденные значения в формулу синуса разности:

$sin(α - β) = sinα cosβ - cosα sinβ = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{10}}{15} - \frac{2\sqrt{5}}{15} = \frac{2\sqrt{10} - 2\sqrt{5}}{15}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{10} - 2\sqrt{5}}{15}$