Номер 14, страница 411 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 14, страница 411.

Условие.

14 a) $10\log_3 (5 + 2\sqrt{6}) + \log_3 (\sqrt{2} + \sqrt{3}) + 21\log_3 (\sqrt{3} - \sqrt{2});$

б) $12\log_2 (8 + 2\sqrt{15}) + \log_2 (\sqrt{5} + \sqrt{3}) + 25\log_2 (\sqrt{5} - \sqrt{3}).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Для решения выражения $10\log_3(5 + 2\sqrt{6}) + \log_3(\sqrt{2} + \sqrt{3}) + 21\log_3(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ мы сначала упростим аргументы логарифмов.
Заметим, что все логарифмы имеют одинаковое основание 3.
Упростим выражение $5 + 2\sqrt{6}$, представив его в виде полного квадрата по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$5 + 2\sqrt{6} = 3 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + 2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$.
Далее, рассмотрим связь между выражениями $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ и $\sqrt{3} - \sqrt{2}$. Их произведение является разностью квадратов:
$(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$.
Из этого следует, что $\sqrt{3} - \sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{-1}$.
Теперь подставим эти преобразованные выражения обратно в исходное:
$10\log_3\left((\sqrt{3} + \sqrt{2})^2\right) + \log_3(\sqrt{3} + \sqrt{2}) + 21\log_3\left((\sqrt{3} + \sqrt{2})^{-1}\right)$.
Применим свойство логарифма $\log_a(b^n) = n \cdot \log_a(b)$:
$10 \cdot 2 \cdot \log_3(\sqrt{3} + \sqrt{2}) + 1 \cdot \log_3(\sqrt{3} + \sqrt{2}) + 21 \cdot (-1) \cdot \log_3(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.
Вынесем общий множитель $\log_3(\sqrt{3} + \sqrt{2})$ за скобки:
$(20 + 1 - 21)\log_3(\sqrt{3} + \sqrt{2}) = 0 \cdot \log_3(\sqrt{3} + \sqrt{2}) = 0$.
Ответ: 0

б) Для решения выражения $12\log_2(8 + 2\sqrt{15}) + \log_2(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + 25\log_2(\sqrt{5} - \sqrt{3})$ поступим аналогично.
Все логарифмы имеют основание 2. Упростим аргументы.
Представим выражение $8 + 2\sqrt{15}$ в виде полного квадрата:
$8 + 2\sqrt{15} = 5 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + 3 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2$.
Найдем произведение выражений $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ и $\sqrt{5} - \sqrt{3}$:
$(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$.
Отсюда следует, что $\sqrt{5} - \sqrt{3} = \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$.
Подставим упрощенные выражения в исходное:
$12\log_2\left((\sqrt{5} + \sqrt{3})^2\right) + \log_2(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + 25\log_2\left(\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}\right)$.
Используем свойства логарифмов $\log_a(b^n) = n \cdot \log_a(b)$ и $\log_a\left(\frac{b}{c}\right) = \log_a(b) - \log_a(c)$:
$12 \cdot 2 \cdot \log_2(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + \log_2(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + 25(\log_2(2) - \log_2(\sqrt{5} + \sqrt{3}))$.
Так как $\log_2(2) = 1$, выражение принимает вид:
$24\log_2(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + \log_2(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + 25(1 - \log_2(\sqrt{5} + \sqrt{3}))$.
Раскроем скобки:
$24\log_2(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + \log_2(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + 25 - 25\log_2(\sqrt{5} + \sqrt{3})$.
Сгруппируем слагаемые, содержащие логарифм:
$(24 + 1 - 25)\log_2(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + 25 = 0 \cdot \log_2(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + 25 = 0 + 25 = 25$.
Ответ: 25