Номер 7, страница 410 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 7, страница 410.

Условие.

7 Докажите, что $\sin 10^\circ$ – иррациональное число.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что $\sin(10^\circ)$ — рациональное число.

Пусть $x = \sin(10^\circ)$. Воспользуемся известной тригонометрической формулой синуса тройного угла: $\sin(3\alpha) = 3\sin(\alpha) - 4\sin^3(\alpha)$.

Применим эту формулу для $\alpha = 10^\circ$. В этом случае $3\alpha = 30^\circ$, а значение синуса этого угла нам известно: $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Подставим значения в формулу:

$\sin(3 \cdot 10^\circ) = 3\sin(10^\circ) - 4\sin^3(10^\circ)$

$\frac{1}{2} = 3x - 4x^3$

Чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами, умножим обе части на 2 и перенесем все члены в левую часть:

$1 = 6x - 8x^3$

$8x^3 - 6x + 1 = 0$

Таким образом, мы показали, что $x = \sin(10^\circ)$ является корнем кубического уравнения $8x^3 - 6x + 1 = 0$ с целыми коэффициентами.

Согласно теореме о рациональных корнях многочлена, если это уравнение имеет рациональный корень вида $\frac{p}{q}$ (где $p$ и $q$ — взаимно простые целые числа), то числитель $p$ должен быть делителем свободного члена (в нашем случае 1), а знаменатель $q$ — делителем старшего коэффициента (в нашем случае 8).

Делители свободного члена (1): $\pm 1$.
Делители старшего коэффициента (8): $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$.

Следовательно, все возможные рациональные корни нашего уравнения — это числа: $\pm 1, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{1}{4}, \pm\frac{1}{8}$.

Теперь проверим, является ли какое-либо из этих чисел решением уравнения $8x^3 - 6x + 1 = 0$. Обозначим многочлен как $P(x) = 8x^3 - 6x + 1$.
$P(1) = 8(1)^3 - 6(1) + 1 = 3 \neq 0$
$P(-1) = 8(-1)^3 - 6(-1) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1 \neq 0$
$P(\frac{1}{2}) = 8(\frac{1}{2})^3 - 6(\frac{1}{2}) + 1 = 8(\frac{1}{8}) - 3 + 1 = -1 \neq 0$
$P(-\frac{1}{2}) = 8(-\frac{1}{2})^3 - 6(-\frac{1}{2}) + 1 = 8(-\frac{1}{8}) + 3 + 1 = 3 \neq 0$
$P(\frac{1}{4}) = 8(\frac{1}{4})^3 - 6(\frac{1}{4}) + 1 = 8(\frac{1}{64}) - \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{8} - \frac{12}{8} + \frac{8}{8} = -\frac{3}{8} \neq 0$
$P(-\frac{1}{4}) = 8(-\frac{1}{4})^3 - 6(-\frac{1}{4}) + 1 = 8(-\frac{1}{64}) + \frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{8} + \frac{12}{8} + \frac{8}{8} = \frac{19}{8} \neq 0$
$P(\frac{1}{8}) = 8(\frac{1}{8})^3 - 6(\frac{1}{8}) + 1 = 8(\frac{1}{512}) - \frac{3}{4} + 1 = \frac{1}{64} - \frac{48}{64} + \frac{64}{64} = \frac{17}{64} \neq 0$
$P(-\frac{1}{8}) = 8(-\frac{1}{8})^3 - 6(-\frac{1}{8}) + 1 = 8(-\frac{1}{512}) + \frac{3}{4} + 1 = -\frac{1}{64} + \frac{48}{64} + \frac{64}{64} = \frac{111}{64} \neq 0$

Проверка показала, что ни один из возможных рациональных корней не является решением уравнения. Это означает, что у уравнения $8x^3 - 6x + 1 = 0$ нет рациональных корней.Поскольку $\sin(10^\circ)$ является корнем этого уравнения, он не может быть рациональным числом. Это противоречит нашему первоначальному предположению.

Ответ: предположение о рациональности $\sin(10^\circ)$ привело к противоречию, следовательно, $\sin(10^\circ)$ — иррациональное число, что и требовалось доказать.