Номер 11, страница 411 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 11, страница 411.

Условие.

11 a) $tg 8x$, если $tg 2x = \frac{1}{4}$;

б) $tg 4x$, если $tg x = \frac{1}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулой тангенса двойного угла: $tg(2\alpha) = \frac{2tg\alpha}{1 - tg^2\alpha}$.
Нам нужно найти $tg(8x)$, зная $tg(2x)$. Заметим, что $8x = 2 \cdot 4x$, а $4x = 2 \cdot 2x$. Поэтому мы применим формулу дважды.

Шаг 1: Найдем $tg(4x)$.
Пусть $\alpha = 2x$. Тогда, используя формулу и данное значение $tg(2x) = \frac{1}{4}$:
$tg(4x) = tg(2 \cdot 2x) = \frac{2tg(2x)}{1 - tg^2(2x)} = \frac{2 \cdot \frac{1}{4}}{1 - (\frac{1}{4})^2} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{16}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{15}{16}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{15} = \frac{8}{15}$.

Шаг 2: Найдем $tg(8x)$.
Теперь пусть $\alpha = 4x$. Используем найденное значение $tg(4x) = \frac{8}{15}$:
$tg(8x) = tg(2 \cdot 4x) = \frac{2tg(4x)}{1 - tg^2(4x)} = \frac{2 \cdot \frac{8}{15}}{1 - (\frac{8}{15})^2} = \frac{\frac{16}{15}}{1 - \frac{64}{225}} = \frac{\frac{16}{15}}{\frac{225 - 64}{225}} = \frac{\frac{16}{15}}{\frac{161}{225}} = \frac{16}{15} \cdot \frac{225}{161} = \frac{16 \cdot 15}{161} = \frac{240}{161}$.

Ответ: $\frac{240}{161}$.

б)

Аналогично пункту а), мы будем использовать формулу тангенса двойного угла $tg(2\alpha) = \frac{2tg\alpha}{1 - tg^2\alpha}$.
Нам нужно найти $tg(4x)$, зная $tg(x) = \frac{1}{3}$. Так как $4x = 2 \cdot 2x$, мы применим формулу дважды.

Шаг 1: Найдем $tg(2x)$.
Пусть $\alpha = x$. Используем данное значение $tg(x) = \frac{1}{3}$:
$tg(2x) = \frac{2tg(x)}{1 - tg^2(x)} = \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1 - (\frac{1}{3})^2} = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$.

Шаг 2: Найдем $tg(4x)$.
Теперь пусть $\alpha = 2x$. Используем найденное значение $tg(2x) = \frac{3}{4}$:
$tg(4x) = tg(2 \cdot 2x) = \frac{2tg(2x)}{1 - tg^2(2x)} = \frac{2 \cdot \frac{3}{4}}{1 - (\frac{3}{4})^2} = \frac{\frac{3}{2}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{16 - 9}{16}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{7} = \frac{3 \cdot 8}{7} = \frac{24}{7}$.

Ответ: $\frac{24}{7}$.