Номер 17, страница 411 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 17, страница 411.

Условие.

17 Сравните два числа:

a) $ \frac{3\pi}{10} $ и $ \arccos{\frac{4}{5}} $;

б) $ \frac{2\pi}{10} $ и $ \arccos{\frac{3}{10}} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Для того чтобы сравнить числа $ \frac{3\pi}{10} $ и $ \arccos \frac{4}{5} $, мы воспользуемся свойством монотонности функции косинуса. Оба числа представляют собой углы в радианах. Определим их примерное расположение. Область значений функции арккосинус — это отрезок $ [0, \pi] $. Поскольку аргумент $ \frac{4}{5} $ положителен, угол $ \arccos \frac{4}{5} $ находится в первой четверти: $ 0 < \arccos \frac{4}{5} < \frac{\pi}{2} $. Угол $ \frac{3\pi}{10} $ также находится в первой четверти, так как $ 0 < \frac{3\pi}{10} < \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2} $.

На отрезке $ [0, \pi] $ (и, в частности, на интервале $ (0, \frac{\pi}{2}) $) функция $ y = \cos x $ является строго убывающей. Это значит, что большему значению угла соответствует меньшее значение косинуса. Таким образом, мы можем сравнить косинусы данных углов и на основе этого сделать вывод о самих углах, поменяв знак неравенства на противоположный.

Пусть $ x_1 = \frac{3\pi}{10} $ и $ x_2 = \arccos \frac{4}{5} $. Найдем и сравним $ \cos x_1 $ и $ \cos x_2 $.

$ \cos x_2 = \cos(\arccos \frac{4}{5}) = \frac{4}{5} $.

Для нахождения $ \cos x_1 = \cos(\frac{3\pi}{10}) $ можно использовать точные значения. Так как оба угла лежат в первой четверти, их косинусы положительны, и мы можем сравнить их квадраты.$ \cos^2 x_2 = (\frac{4}{5})^2 = \frac{16}{25} $.Для $ \cos^2 x_1 $ воспользуемся формулой понижения степени $ \cos^2 \alpha = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2} $:$ \cos^2(\frac{3\pi}{10}) = \frac{1+\cos(2 \cdot \frac{3\pi}{10})}{2} = \frac{1+\cos(\frac{3\pi}{5})}{2} $.Значение $ \cos(\frac{3\pi}{5}) $ можно найти через известный $ \cos(\frac{2\pi}{5}) = \frac{\sqrt{5}-1}{4} $.$ \cos(\frac{3\pi}{5}) = \cos(\pi - \frac{2\pi}{5}) = -\cos(\frac{2\pi}{5}) = -\frac{\sqrt{5}-1}{4} = \frac{1-\sqrt{5}}{4} $.Подставим в формулу:$ \cos^2(\frac{3\pi}{10}) = \frac{1 + \frac{1-\sqrt{5}}{4}}{2} = \frac{\frac{4+1-\sqrt{5}}{4}}{2} = \frac{5-\sqrt{5}}{8} $.

Теперь сравним $ \frac{5-\sqrt{5}}{8} $ и $ \frac{16}{25} $. Для этого приведем их к общему знаменателю $ 200 $ или используем перекрестное умножение. Сравним $ 25(5-\sqrt{5}) $ и $ 8 \cdot 16 $.$ 125 - 25\sqrt{5} $ и $ 128 $.Вычтем $ 125 $ из обеих частей неравенства: $ -25\sqrt{5} $ и $ 3 $.Очевидно, что отрицательное число $ -25\sqrt{5} $ меньше положительного числа $ 3 $.Следовательно, $ 125 - 25\sqrt{5} < 128 $, что означает $ \frac{5-\sqrt{5}}{8} < \frac{16}{25} $.

Таким образом, $ \cos^2(\frac{3\pi}{10}) < \cos^2(\arccos \frac{4}{5}) $. Так как косинусы обоих углов положительны, то $ \cos(\frac{3\pi}{10}) < \cos(\arccos \frac{4}{5}) $.Поскольку функция косинуса убывает, для углов верно обратное неравенство: $ \frac{3\pi}{10} > \arccos \frac{4}{5} $.

Ответ: $ \frac{3\pi}{10} > \arccos \frac{4}{5} $.

б) Сравним числа $ \frac{2\pi}{10} $ и $ \arccos \frac{3}{10} $.Первое число можно упростить: $ \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5} $.Как и в предыдущем задании, будем сравнивать косинусы этих углов, так как оба угла $ x_1 = \frac{\pi}{5} $ и $ x_2 = \arccos \frac{3}{10} $ принадлежат интервалу $ (0, \frac{\pi}{2}) $, на котором косинус является убывающей функцией.

$ \cos(x_2) = \cos(\arccos \frac{3}{10}) = \frac{3}{10} $.

$ \cos(x_1) = \cos(\frac{\pi}{5}) $. Это табличное значение, связанное с золотым сечением: $ \cos(\frac{\pi}{5}) = \cos(36^\circ) = \frac{1+\sqrt{5}}{4} $.

Теперь сравним два числа: $ \frac{1+\sqrt{5}}{4} $ и $ \frac{3}{10} $.Воспользуемся перекрестным умножением: сравним $ 10(1+\sqrt{5}) $ и $ 4 \cdot 3 $.$ 10+10\sqrt{5} $ и $ 12 $.Вычтем $ 10 $ из обеих частей: $ 10\sqrt{5} $ и $ 2 $.Так как $ \sqrt{5} > 1 $, то $ 10\sqrt{5} > 10 $, и, очевидно, $ 10\sqrt{5} > 2 $.Следовательно, $ 10+10\sqrt{5} > 12 $, и $ \frac{1+\sqrt{5}}{4} > \frac{3}{10} $.

Мы получили, что $ \cos(\frac{\pi}{5}) > \cos(\arccos \frac{3}{10}) $.Так как функция косинуса на этом интервале убывает, для самих углов будет верно обратное неравенство: $ \frac{\pi}{5} < \arccos \frac{3}{10} $.

Ответ: $ \frac{2\pi}{10} < \arccos \frac{3}{10} $.