Номер 22, страница 412 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 22, страница 412.

Условие.

22 a) $\frac{(x - a)(x - b)}{(c - a)(c - b)} + \frac{(x - c)(x - b)}{(a - c)(a - b)} + \frac{(x - c)(x - a)}{(b - c)(b - a)};$

б) $\left(\frac{4(a + b)^2}{ab} - 16\right) \cdot \frac{(a + b)^2 - ab}{ab} : \left(\frac{a^3 - b^3}{11ab} \cdot \frac{44(a - b)}{ab}\right);$

в) $\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b + c}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b + c}} \cdot \frac{bc}{(a + b + c)^2} \cdot \left(1 + \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right);$

г) $2\left(\frac{a^{-1}}{a^{-1} - b^{-1}} - \frac{b^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}}\right)(a^{-1} - b^{-1})(a^{-2} + b^{-2})^{-1} \cdot \frac{a + b}{ab};$

д) $\frac{a^{-2} + b^{-2}}{a^{-1} + b^{-1}} \cdot \left(\frac{a^2 + b^2}{ab}\right)^{-1} - (a + b)^{-1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Рассмотрим выражение: $ \frac{(x - a)(x - b)}{(c - a)(c - b)} + \frac{(x - c)(x - b)}{(a - c)(a - b)} + \frac{(x - c)(x - a)}{(b - c)(b - a)} $.

Для упрощения приведем все дроби к общему знаменателю. В знаменателях есть циклические множители. Выберем в качестве общего знаменателя выражение $ (a-b)(b-c)(c-a) $.

Преобразуем знаменатели каждой дроби:

• Первый знаменатель: $ (c - a)(c - b) = (-(a-c))(-(b-c)) = (a-c)(b-c) $. Чтобы привести к общему знаменателю, нужно домножить на $ -(a-b) $? Нет, это неверно. Давайте преобразуем знаменатели к виду $ (a-b)(b-c)(c-a) $.
  $ (c-a)(c-b) = (c-a)(-(b-c)) $. Домножим числитель и знаменатель на $ -(a-b) $.
  Первый член: $ \frac{(x - a)(x - b)}{ (c - a)(c - b) } = \frac{(x - a)(x - b)(-(a-b))}{ (c - a)(-(b-c))(-(a-b)) } = \frac{-(a-b)(x - a)(x - b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} $.
• Второй знаменатель: $ (a - c)(a - b) = -(c-a)(a-b) $. Домножим числитель и знаменатель на $ -(b-c) $.
  Второй член: $ \frac{(x - c)(x - b)}{(a - c)(a - b)} = \frac{(x - c)(x - b)(-(b-c))}{(a-c)(a-b)(-(b-c))} = \frac{-(b-c)(x - b)(x - c)}{(a-b)(b-c)(c-a)} $.
• Третий знаменатель: $ (b - c)(b - a) = (b-c)(-(a-b)) $. Домножим числитель и знаменатель на $ -(c-a) $.
  Третий член: $ \frac{(x - c)(x - a)}{(b - c)(b - a)} = \frac{(x - c)(x - a)(-(c-a))}{(b-c)(b-a)(-(c-a))} = \frac{-(c-a)(x - c)(x - a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} $.

Теперь сложим числители, так как знаменатели одинаковы:

$ \frac{-(a-b)(x-a)(x-b) - (b-c)(x-b)(x-c) - (c-a)(x-c)(x-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} $

Раскроем скобки в числителе $ N $. Сгруппируем члены при одинаковых степенях $ x $.

Коэффициент при $ x^2 $: $ -(a-b) - (b-c) - (c-a) = -a+b-b+c-c+a = 0 $.

Коэффициент при $ x $: $ -[-(a-b)(a+b) - (b-c)(b+c) - (c-a)(c+a)] = (a^2-b^2) + (b^2-c^2) + (c^2-a^2) = 0 $.

Свободный член: $ -[-(a-b)(-a)(-b) - (b-c)(-b)(-c) - (c-a)(-c)(-a)] = -ab(a-b) - bc(b-c) - ca(c-a) $.

Раскроем скобки: $ -a^2b + ab^2 - b^2c + bc^2 - c^2a + ca^2 $. Это выражение является известным тождеством и равно $ (a-b)(b-c)(c-a) $.

Таким образом, числитель равен $ (a-b)(b-c)(c-a) $.

Всё выражение равно: $ \frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = 1 $.

Ответ: 1.

б)

Упростим выражение: $ \left(\frac{4(a+b)^2}{ab} - 16\right) \cdot \frac{(a+b)^2-ab}{ab} : \left(\frac{a^3-b^3}{11ab} \cdot \frac{44(a-b)}{ab}\right) $.

Выполним действия по шагам.

1. Упростим выражение в первых скобках:
$ \frac{4(a+b)^2}{ab} - 16 = \frac{4(a^2+2ab+b^2) - 16ab}{ab} = \frac{4a^2+8ab+4b^2-16ab}{ab} = \frac{4a^2-8ab+4b^2}{ab} = \frac{4(a-b)^2}{ab} $.

2. Упростим второй множитель:
$ \frac{(a+b)^2-ab}{ab} = \frac{a^2+2ab+b^2-ab}{ab} = \frac{a^2+ab+b^2}{ab} $.

3. Упростим выражение в скобках, на которое делим:
$ \frac{a^3-b^3}{11ab} \cdot \frac{44(a-b)}{ab} = \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{11ab} \cdot \frac{44(a-b)}{ab} = \frac{4 \cdot 11 (a-b)^2(a^2+ab+b^2)}{11(ab)^2} = \frac{4(a-b)^2(a^2+ab+b^2)}{(ab)^2} $.

4. Объединим всё вместе:
$ \left(\frac{4(a-b)^2}{ab}\right) \cdot \left(\frac{a^2+ab+b^2}{ab}\right) : \left(\frac{4(a-b)^2(a^2+ab+b^2)}{(ab)^2}\right) $
$ = \frac{4(a-b)^2(a^2+ab+b^2)}{(ab)^2} : \frac{4(a-b)^2(a^2+ab+b^2)}{(ab)^2} $.

Так как делимое и делитель равны (и не равны нулю по области определения), их частное равно 1.

Ответ: 1.

в)

Упростим выражение: $ \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b+c}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b+c}} \cdot \frac{bc}{(a+b+c)^2} \cdot \left(1 + \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right) $.

1. Упростим первую сложную дробь:
Числитель: $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b+c} = \frac{b+c+a}{a(b+c)} $.
Знаменатель: $ \frac{1}{a} - \frac{1}{b+c} = \frac{b+c-a}{a(b+c)} $.
Дробь: $ \frac{\frac{a+b+c}{a(b+c)}}{\frac{b+c-a}{a(b+c)}} = \frac{a+b+c}{b+c-a} $.

2. Упростим выражение в скобках:
$ 1 + \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{(b+c)^2-a^2}{2bc} = \frac{(b+c-a)(b+c+a)}{2bc} $.

3. Перемножим все части:
$ \left(\frac{a+b+c}{b+c-a}\right) \cdot \frac{bc}{(a+b+c)^2} \cdot \left(\frac{(b+c-a)(a+b+c)}{2bc}\right) $.

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:
$ \frac{(a+b+c) \cdot bc \cdot (b+c-a) \cdot (a+b+c)}{(b+c-a) \cdot (a+b+c)^2 \cdot 2bc} = \frac{(a+b+c)^2 \cdot (b+c-a) \cdot bc}{(a+b+c)^2 \cdot (b+c-a) \cdot 2bc} = \frac{1}{2} $.

Ответ: 1/2.

г)

Упростим выражение: $ 2\left(\frac{a^{-1}}{a^{-1}-b^{-1}} - \frac{b^{-1}}{a^{-1}+b^{-1}}\right) (a^{-1}-b^{-1})(a^{-2}+b^{-2})^{-1} \cdot \frac{a+b}{ab} $.

Сначала заменим отрицательные степени на дроби: $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $.

1. Выражение в больших скобках:
$ \frac{a^{-1}}{a^{-1}-b^{-1}} - \frac{b^{-1}}{a^{-1}+b^{-1}} = \frac{\frac{1}{a}}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}} - \frac{\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} = \frac{\frac{1}{a}}{\frac{b-a}{ab}} - \frac{\frac{1}{b}}{\frac{b+a}{ab}} = \frac{ab}{a(b-a)} - \frac{ab}{b(a+b)} = \frac{b}{b-a} - \frac{a}{a+b} $
$ = \frac{b(a+b) - a(b-a)}{(b-a)(a+b)} = \frac{ab+b^2-ab+a^2}{b^2-a^2} = \frac{a^2+b^2}{b^2-a^2} $.

2. Остальные множители:
$ a^{-1}-b^{-1} = \frac{1}{a}-\frac{1}{b} = \frac{b-a}{ab} $.
$ (a^{-2}+b^{-2})^{-1} = \left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)^{-1} = \left(\frac{b^2+a^2}{a^2b^2}\right)^{-1} = \frac{a^2b^2}{a^2+b^2} $.

3. Перемножим все части:
$ 2 \cdot \left(\frac{a^2+b^2}{b^2-a^2}\right) \cdot \left(\frac{b-a}{ab}\right) \cdot \left(\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}\right) \cdot \left(\frac{a+b}{ab}\right) $.

Заметим, что $ b^2-a^2 = (b-a)(b+a) $. Сократим множители:
$ 2 \cdot \frac{a^2+b^2}{(b-a)(b+a)} \cdot \frac{b-a}{ab} \cdot \frac{a^2b^2}{a^2+b^2} \cdot \frac{a+b}{ab} $
$ = 2 \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{ab} \cdot a^2b^2 \cdot \frac{1}{ab} = \frac{2 a^2b^2}{a^2b^2} = 2 $.

Ответ: 2.

д)

Упростим выражение: $ \frac{a^{-2}+b^{-2}}{a^{-1}+b^{-1}} \cdot \left(\frac{a^2+b^2}{ab}\right)^{-1} - (a+b)^{-1} $.

Заменим отрицательные степени на дроби.

1. Упростим первую дробь:
$ \frac{a^{-2}+b^{-2}}{a^{-1}+b^{-1}} = \frac{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} = \frac{\frac{b^2+a^2}{a^2b^2}}{\frac{b+a}{ab}} = \frac{a^2+b^2}{a^2b^2} \cdot \frac{ab}{a+b} = \frac{a^2+b^2}{ab(a+b)} $.

2. Упростим второй множитель:
$ \left(\frac{a^2+b^2}{ab}\right)^{-1} = \frac{ab}{a^2+b^2} $.

3. Перемножим первые два члена:
$ \frac{a^2+b^2}{ab(a+b)} \cdot \frac{ab}{a^2+b^2} = \frac{1}{a+b} $.

4. Выполним вычитание:
$ \frac{1}{a+b} - (a+b)^{-1} = \frac{1}{a+b} - \frac{1}{a+b} = 0 $.

Ответ: 0.