Номер 26, страница 412 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 26, страница 412.

Условие.

26 Упростите выражение:

а) $\frac{2}{a - 2\sqrt{a}} - \frac{1}{\sqrt{a} + 2} + \frac{1}{\sqrt{a}}$;

б) $\frac{a - a^{-1}}{1 + a^{-1}} - \frac{a - a^{-1}}{1 - a^{-1}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Чтобы упростить выражение $ \frac{2}{a - 2\sqrt{a}} - \frac{1}{\sqrt{a} + 2} + \frac{1}{\sqrt{a}} $, приведем все дроби к общему знаменателю.

Сначала разложим знаменатель первой дроби на множители: $ a - 2\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a} - 2) $. Знаменатели трех дробей: $ \sqrt{a}(\sqrt{a} - 2) $, $ \sqrt{a} + 2 $ и $ \sqrt{a} $. Наименьший общий знаменатель для них — это $ \sqrt{a}(\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} + 2) $. Заметим, что $ (\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} + 2) $ является разностью квадратов: $ (\sqrt{a})^2 - 2^2 = a - 4 $. Таким образом, общий знаменатель равен $ \sqrt{a}(a - 4) $.

Теперь приведем каждую дробь к этому знаменателю.
Первая дробь: $ \frac{2}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 2)} = \frac{2(\sqrt{a} + 2)}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} + 2)} = \frac{2\sqrt{a} + 4}{\sqrt{a}(a-4)} $.
Вторая дробь: $ \frac{1}{\sqrt{a} + 2} = \frac{1 \cdot \sqrt{a}(\sqrt{a} - 2)}{(\sqrt{a} + 2) \cdot \sqrt{a}(\sqrt{a} - 2)} = \frac{a - 2\sqrt{a}}{\sqrt{a}(a-4)} $.
Третья дробь: $ \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1 \cdot (a-4)}{\sqrt{a}(a-4)} = \frac{a-4}{\sqrt{a}(a-4)} $.

Выполним действия с дробями:
$ \frac{2\sqrt{a} + 4}{\sqrt{a}(a-4)} - \frac{a - 2\sqrt{a}}{\sqrt{a}(a-4)} + \frac{a - 4}{\sqrt{a}(a-4)} = \frac{(2\sqrt{a} + 4) - (a - 2\sqrt{a}) + (a - 4)}{\sqrt{a}(a-4)} $.

Упростим числитель, раскрыв скобки:
$ 2\sqrt{a} + 4 - a + 2\sqrt{a} + a - 4 = (2\sqrt{a} + 2\sqrt{a}) + (-a + a) + (4 - 4) = 4\sqrt{a} $.

Получаем дробь $ \frac{4\sqrt{a}}{\sqrt{a}(a - 4)} $. Сократим $ \sqrt{a} $ в числителе и знаменателе.
$ \frac{4}{a - 4} $.

Ответ: $ \frac{4}{a - 4} $.

б) Рассмотрим выражение $ \frac{a - a^{-1}}{1 + a^{-1}} - \frac{a - a^{-1}}{1 - a^{-1}} $.

По определению отрицательной степени, $ a^{-1} = \frac{1}{a} $. Заменим $ a^{-1} $ в выражении:
$ \frac{a - \frac{1}{a}}{1 + \frac{1}{a}} - \frac{a - \frac{1}{a}}{1 - \frac{1}{a}} $.

Упростим каждую сложную дробь по отдельности. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на $ a $.
Первая дробь: $ \frac{(a - \frac{1}{a}) \cdot a}{(1 + \frac{1}{a}) \cdot a} = \frac{a^2 - 1}{a + 1} $. Используя формулу разности квадратов $ a^2 - 1 = (a-1)(a+1) $, получаем $ \frac{(a-1)(a+1)}{a+1} = a-1 $.
Вторая дробь: $ \frac{(a - \frac{1}{a}) \cdot a}{(1 - \frac{1}{a}) \cdot a} = \frac{a^2 - 1}{a - 1} $. Аналогично, $ \frac{(a-1)(a+1)}{a-1} = a+1 $.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное:
$ (a-1) - (a+1) $.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$ a - 1 - a - 1 = -2 $.

Ответ: $ -2 $.