Номер 25, страница 412 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 25, страница 412.

Условие.

25 Сократите дробь и вычислите значение полученного выражения при указанном значении x:

а) $ \frac{x^3 + 4x^2 - 9x - 36}{x^3 + 2x^2 - 11x - 12} $, $ x = 3 $;

б) $ \frac{x^3 + 7x^2 + 16x + 12}{x^3 + 5x^2 + 8x + 4} $, $ x = -2 $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) Рассмотрим выражение $\frac{x^3 + 4x^2 - 9x - 36}{x^3 + 2x^2 - 11x - 12}$ при $x=3$.
Если подставить $x=3$ в числитель и знаменатель, получим неопределенность вида $\frac{0}{0}$:
Числитель: $3^3 + 4 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3 - 36 = 27 + 4 \cdot 9 - 27 - 36 = 27 + 36 - 27 - 36 = 0$.
Знаменатель: $3^3 + 2 \cdot 3^2 - 11 \cdot 3 - 12 = 27 + 2 \cdot 9 - 33 - 12 = 27 + 18 - 33 - 12 = 45 - 45 = 0$.
Это означает, что и числитель, и знаменатель делятся на $(x-3)$ без остатка. Разложим их на множители.

Разложим числитель на множители методом группировки: $x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = (x^3 + 4x^2) - (9x + 36) = x^2(x+4) - 9(x+4) = (x^2 - 9)(x+4) = (x-3)(x+3)(x+4)$.

Разложим на множители знаменатель. Поскольку $x=3$ является корнем многочлена $x^3 + 2x^2 - 11x - 12$, разделим его на $(x-3)$ (например, столбиком или по схеме Горнера). Получим: $x^3 + 2x^2 - 11x - 12 = (x-3)(x^2 + 5x + 4)$. Квадратный трехчлен $x^2 + 5x + 4$ также разложим на множители. Его корни $x_1 = -1$ и $x_2 = -4$. Следовательно, $x^2 + 5x + 4 = (x+1)(x+4)$. Таким образом, знаменатель равен $(x-3)(x+1)(x+4)$.

Теперь сократим дробь: $\frac{x^3 + 4x^2 - 9x - 36}{x^3 + 2x^2 - 11x - 12} = \frac{(x-3)(x+3)(x+4)}{(x-3)(x+1)(x+4)}$.
При $x \neq 3$ и $x \neq -4$ можно сократить общие множители $(x-3)$ и $(x+4)$: $\frac{(x-3)(x+3)(x+4)}{(x-3)(x+1)(x+4)} = \frac{x+3}{x+1}$.

Теперь вычислим значение полученного выражения при $x=3$: $\frac{3+3}{3+1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{x^3 + 7x^2 + 16x + 12}{x^3 + 5x^2 + 8x + 4}$ при $x=-2$.
Подстановка $x=-2$ в числитель и знаменатель приводит к неопределенности $\frac{0}{0}$:
Числитель: $(-2)^3 + 7(-2)^2 + 16(-2) + 12 = -8 + 7 \cdot 4 - 32 + 12 = -8 + 28 - 32 + 12 = 0$.
Знаменатель: $(-2)^3 + 5(-2)^2 + 8(-2) + 4 = -8 + 5 \cdot 4 - 16 + 4 = -8 + 20 - 16 + 4 = 0$.
Следовательно, многочлены в числителе и знаменателе делятся на $(x+2)$. Разложим их на множители.

Разложим числитель. Разделив $x^3 + 7x^2 + 16x + 12$ на $(x+2)$, получим $x^2 + 5x + 6$. Квадратный трехчлен $x^2 + 5x + 6$ раскладывается на множители $(x+2)(x+3)$. Значит, числитель равен $(x+2)(x^2 + 5x + 6) = (x+2)(x+2)(x+3) = (x+2)^2(x+3)$.

Разложим знаменатель. Разделив $x^3 + 5x^2 + 8x + 4$ на $(x+2)$, получим $x^2 + 3x + 2$. Квадратный трехчлен $x^2 + 3x + 2$ раскладывается на множители $(x+1)(x+2)$. Значит, знаменатель равен $(x+2)(x^2 + 3x + 2) = (x+2)(x+1)(x+2) = (x+1)(x+2)^2$.

Теперь сократим дробь: $\frac{x^3 + 7x^2 + 16x + 12}{x^3 + 5x^2 + 8x + 4} = \frac{(x+2)^2(x+3)}{(x+1)(x+2)^2}$.
При $x \neq -2$ можно сократить общий множитель $(x+2)^2$: $\frac{(x+2)^2(x+3)}{(x+1)(x+2)^2} = \frac{x+3}{x+1}$.

Вычислим значение полученного выражения при $x=-2$: $\frac{-2+3}{-2+1} = \frac{1}{-1} = -1$.

Ответ: $-1$.