Номер 23, страница 412 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 23, страница 412.

Условие.

23 $ \left( \frac{(a + 2)^2 - a^2}{4a^2 - 4} - \frac{3}{a^2 - a} \right) : \frac{a - 3}{a^3 - 1} $ найдите его значение при $ a = \frac{1}{3}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения задачи сначала упростим данное алгебраическое выражение, а затем подставим в него указанное значение переменной $a$.

Исходное выражение: $(\frac{(a+2)^2 - a^2}{4a^2 - 4} - \frac{3}{a^2 - a}) : \frac{a - 3}{a^3 - 1}$

1. Упростим выражение в скобках.

Рассмотрим первую дробь $\frac{(a+2)^2 - a^2}{4a^2 - 4}$.

В числителе применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$(a+2)^2 - a^2 = ((a+2) - a)((a+2) + a) = (2)(2a+2) = 4(a+1)$.

В знаменателе вынесем общий множитель за скобки и также применим формулу разности квадратов:

$4a^2 - 4 = 4(a^2 - 1) = 4(a-1)(a+1)$.

Теперь первая дробь имеет вид:

$\frac{4(a+1)}{4(a-1)(a+1)} = \frac{1}{a-1}$ (при условии, что $a \neq 1$ и $a \neq -1$).

Рассмотрим вторую дробь $\frac{3}{a^2 - a}$.

В знаменателе вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a^2 - a = a(a-1)$.

Теперь выполним вычитание дробей в скобках:

$\frac{1}{a-1} - \frac{3}{a(a-1)} = \frac{a}{a(a-1)} - \frac{3}{a(a-1)} = \frac{a-3}{a(a-1)}$.

2. Выполним деление.

Результат из скобок нужно разделить на $\frac{a-3}{a^3-1}$.

$(\frac{a-3}{a(a-1)}) : \frac{a-3}{a^3-1}$

Разложим знаменатель делителя $a^3-1$ по формуле разности кубов $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$:

$a^3-1 = (a-1)(a^2+a \cdot 1 + 1^2) = (a-1)(a^2+a+1)$.

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$\frac{a-3}{a(a-1)} \cdot \frac{(a-1)(a^2+a+1)}{a-3}$.

Сократим одинаковые множители $(a-3)$ и $(a-1)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq 3$ и $a \neq 1$):

$\frac{\cancel{a-3}}{a(\cancel{a-1})} \cdot \frac{(\cancel{a-1})(a^2+a+1)}{\cancel{a-3}} = \frac{a^2+a+1}{a}$.

3. Найдем значение выражения при $a = \frac{1}{3}$.

Подставим значение $a = \frac{1}{3}$ в упрощенное выражение $\frac{a^2+a+1}{a}$:

$\frac{(\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} + 1}{\frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 1}{\frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{9} + \frac{3}{9} + \frac{9}{9}}{\frac{1}{3}} = \frac{\frac{1+3+9}{9}}{\frac{1}{3}} = \frac{\frac{13}{9}}{\frac{1}{3}}$.

Выполним деление дробей:

$\frac{13}{9} \cdot \frac{3}{1} = \frac{13 \cdot 3}{9} = \frac{13}{3}$.

Ответ: $\frac{13}{3}$