Страница 412 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Упростите выражение (21–24):

21 $\left( \frac{a+b}{a-b} + \frac{a-b}{a+b} - \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} \right) \cdot \frac{5a^2-5b^2}{a^2+b^2}$

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку. Сначала преобразуем выражение в скобках, приведя все дроби к общему знаменателю.

$$ \left( \frac{a+b}{a-b} + \frac{a-b}{a+b} - \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} \right) \cdot \frac{5a^2-5b^2}{a^2+b^2} $$

1. Найдем общий знаменатель для дробей в скобках. Используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Таким образом, общий знаменатель — это $a^2-b^2$.

2. Приведем первую и вторую дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{a+b}{a-b} = \frac{(a+b)(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a+b)^2}{a^2-b^2} $$

$$ \frac{a-b}{a+b} = \frac{(a-b)(a-b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{(a-b)^2}{a^2-b^2} $$

3. Выполним сложение и вычитание дробей в скобках:

$$ \frac{(a+b)^2}{a^2-b^2} + \frac{(a-b)^2}{a^2-b^2} - \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} = \frac{(a+b)^2 + (a-b)^2 - (a^2+b^2)}{a^2-b^2} $$

4. Раскроем скобки в числителе, используя формулы сокращенного умножения: $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.

$$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$

$$ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $$

Подставим раскрытые выражения в числитель:

$$ \frac{(a^2+2ab+b^2) + (a^2-2ab+b^2) - a^2 - b^2}{a^2-b^2} $$

5. Приведем подобные слагаемые в числителе:

$$ \frac{a^2+a^2-a^2 + 2ab-2ab + b^2+b^2-b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} $$

6. Теперь результат, полученный в скобках, умножим на вторую дробь из исходного выражения. Предварительно вынесем общий множитель 5 за скобки в числителе второй дроби:

$$ \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} \cdot \frac{5a^2-5b^2}{a^2+b^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} \cdot \frac{5(a^2-b^2)}{a^2+b^2} $$

7. Сократим полученное выражение. Множитель $(a^2+b^2)$ в числителе и знаменателе сокращается. Множитель $(a^2-b^2)$ также сокращается.

$$ \frac{\cancel{a^2+b^2}}{\cancel{a^2-b^2}} \cdot \frac{5(\cancel{a^2-b^2})}{\cancel{a^2+b^2}} = 5 $$

Упрощение справедливо при условиях $a \neq b$ и $a \neq -b$, так как знаменатели не должны быть равны нулю.

Ответ: 5

22 a) $\frac{(x - a)(x - b)}{(c - a)(c - b)} + \frac{(x - c)(x - b)}{(a - c)(a - b)} + \frac{(x - c)(x - a)}{(b - c)(b - a)};$

б) $\left(\frac{4(a + b)^2}{ab} - 16\right) \cdot \frac{(a + b)^2 - ab}{ab} : \left(\frac{a^3 - b^3}{11ab} \cdot \frac{44(a - b)}{ab}\right);$

в) $\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b + c}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b + c}} \cdot \frac{bc}{(a + b + c)^2} \cdot \left(1 + \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right);$

г) $2\left(\frac{a^{-1}}{a^{-1} - b^{-1}} - \frac{b^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}}\right)(a^{-1} - b^{-1})(a^{-2} + b^{-2})^{-1} \cdot \frac{a + b}{ab};$

д) $\frac{a^{-2} + b^{-2}}{a^{-1} + b^{-1}} \cdot \left(\frac{a^2 + b^2}{ab}\right)^{-1} - (a + b)^{-1}.$

а)

Рассмотрим выражение: $ \frac{(x - a)(x - b)}{(c - a)(c - b)} + \frac{(x - c)(x - b)}{(a - c)(a - b)} + \frac{(x - c)(x - a)}{(b - c)(b - a)} $.

Для упрощения приведем все дроби к общему знаменателю. В знаменателях есть циклические множители. Выберем в качестве общего знаменателя выражение $ (a-b)(b-c)(c-a) $.

Преобразуем знаменатели каждой дроби:

• Первый знаменатель: $ (c - a)(c - b) = (-(a-c))(-(b-c)) = (a-c)(b-c) $. Чтобы привести к общему знаменателю, нужно домножить на $ -(a-b) $? Нет, это неверно. Давайте преобразуем знаменатели к виду $ (a-b)(b-c)(c-a) $.
  $ (c-a)(c-b) = (c-a)(-(b-c)) $. Домножим числитель и знаменатель на $ -(a-b) $.
  Первый член: $ \frac{(x - a)(x - b)}{ (c - a)(c - b) } = \frac{(x - a)(x - b)(-(a-b))}{ (c - a)(-(b-c))(-(a-b)) } = \frac{-(a-b)(x - a)(x - b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} $.
• Второй знаменатель: $ (a - c)(a - b) = -(c-a)(a-b) $. Домножим числитель и знаменатель на $ -(b-c) $.
  Второй член: $ \frac{(x - c)(x - b)}{(a - c)(a - b)} = \frac{(x - c)(x - b)(-(b-c))}{(a-c)(a-b)(-(b-c))} = \frac{-(b-c)(x - b)(x - c)}{(a-b)(b-c)(c-a)} $.
• Третий знаменатель: $ (b - c)(b - a) = (b-c)(-(a-b)) $. Домножим числитель и знаменатель на $ -(c-a) $.
  Третий член: $ \frac{(x - c)(x - a)}{(b - c)(b - a)} = \frac{(x - c)(x - a)(-(c-a))}{(b-c)(b-a)(-(c-a))} = \frac{-(c-a)(x - c)(x - a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} $.

Теперь сложим числители, так как знаменатели одинаковы:

$ \frac{-(a-b)(x-a)(x-b) - (b-c)(x-b)(x-c) - (c-a)(x-c)(x-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} $

Раскроем скобки в числителе $ N $. Сгруппируем члены при одинаковых степенях $ x $.

Коэффициент при $ x^2 $: $ -(a-b) - (b-c) - (c-a) = -a+b-b+c-c+a = 0 $.

Коэффициент при $ x $: $ -[-(a-b)(a+b) - (b-c)(b+c) - (c-a)(c+a)] = (a^2-b^2) + (b^2-c^2) + (c^2-a^2) = 0 $.

Свободный член: $ -[-(a-b)(-a)(-b) - (b-c)(-b)(-c) - (c-a)(-c)(-a)] = -ab(a-b) - bc(b-c) - ca(c-a) $.

Раскроем скобки: $ -a^2b + ab^2 - b^2c + bc^2 - c^2a + ca^2 $. Это выражение является известным тождеством и равно $ (a-b)(b-c)(c-a) $.

Таким образом, числитель равен $ (a-b)(b-c)(c-a) $.

Всё выражение равно: $ \frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = 1 $.

Ответ: 1.

б)

Упростим выражение: $ \left(\frac{4(a+b)^2}{ab} - 16\right) \cdot \frac{(a+b)^2-ab}{ab} : \left(\frac{a^3-b^3}{11ab} \cdot \frac{44(a-b)}{ab}\right) $.

Выполним действия по шагам.

1. Упростим выражение в первых скобках:
$ \frac{4(a+b)^2}{ab} - 16 = \frac{4(a^2+2ab+b^2) - 16ab}{ab} = \frac{4a^2+8ab+4b^2-16ab}{ab} = \frac{4a^2-8ab+4b^2}{ab} = \frac{4(a-b)^2}{ab} $.

2. Упростим второй множитель:
$ \frac{(a+b)^2-ab}{ab} = \frac{a^2+2ab+b^2-ab}{ab} = \frac{a^2+ab+b^2}{ab} $.

3. Упростим выражение в скобках, на которое делим:
$ \frac{a^3-b^3}{11ab} \cdot \frac{44(a-b)}{ab} = \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{11ab} \cdot \frac{44(a-b)}{ab} = \frac{4 \cdot 11 (a-b)^2(a^2+ab+b^2)}{11(ab)^2} = \frac{4(a-b)^2(a^2+ab+b^2)}{(ab)^2} $.

4. Объединим всё вместе:
$ \left(\frac{4(a-b)^2}{ab}\right) \cdot \left(\frac{a^2+ab+b^2}{ab}\right) : \left(\frac{4(a-b)^2(a^2+ab+b^2)}{(ab)^2}\right) $
$ = \frac{4(a-b)^2(a^2+ab+b^2)}{(ab)^2} : \frac{4(a-b)^2(a^2+ab+b^2)}{(ab)^2} $.

Так как делимое и делитель равны (и не равны нулю по области определения), их частное равно 1.

Ответ: 1.

в)

Упростим выражение: $ \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b+c}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b+c}} \cdot \frac{bc}{(a+b+c)^2} \cdot \left(1 + \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right) $.

1. Упростим первую сложную дробь:
Числитель: $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b+c} = \frac{b+c+a}{a(b+c)} $.
Знаменатель: $ \frac{1}{a} - \frac{1}{b+c} = \frac{b+c-a}{a(b+c)} $.
Дробь: $ \frac{\frac{a+b+c}{a(b+c)}}{\frac{b+c-a}{a(b+c)}} = \frac{a+b+c}{b+c-a} $.

2. Упростим выражение в скобках:
$ 1 + \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{(b+c)^2-a^2}{2bc} = \frac{(b+c-a)(b+c+a)}{2bc} $.

3. Перемножим все части:
$ \left(\frac{a+b+c}{b+c-a}\right) \cdot \frac{bc}{(a+b+c)^2} \cdot \left(\frac{(b+c-a)(a+b+c)}{2bc}\right) $.

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:
$ \frac{(a+b+c) \cdot bc \cdot (b+c-a) \cdot (a+b+c)}{(b+c-a) \cdot (a+b+c)^2 \cdot 2bc} = \frac{(a+b+c)^2 \cdot (b+c-a) \cdot bc}{(a+b+c)^2 \cdot (b+c-a) \cdot 2bc} = \frac{1}{2} $.

Ответ: 1/2.

г)

Упростим выражение: $ 2\left(\frac{a^{-1}}{a^{-1}-b^{-1}} - \frac{b^{-1}}{a^{-1}+b^{-1}}\right) (a^{-1}-b^{-1})(a^{-2}+b^{-2})^{-1} \cdot \frac{a+b}{ab} $.

Сначала заменим отрицательные степени на дроби: $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $.

1. Выражение в больших скобках:
$ \frac{a^{-1}}{a^{-1}-b^{-1}} - \frac{b^{-1}}{a^{-1}+b^{-1}} = \frac{\frac{1}{a}}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}} - \frac{\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} = \frac{\frac{1}{a}}{\frac{b-a}{ab}} - \frac{\frac{1}{b}}{\frac{b+a}{ab}} = \frac{ab}{a(b-a)} - \frac{ab}{b(a+b)} = \frac{b}{b-a} - \frac{a}{a+b} $
$ = \frac{b(a+b) - a(b-a)}{(b-a)(a+b)} = \frac{ab+b^2-ab+a^2}{b^2-a^2} = \frac{a^2+b^2}{b^2-a^2} $.

2. Остальные множители:
$ a^{-1}-b^{-1} = \frac{1}{a}-\frac{1}{b} = \frac{b-a}{ab} $.
$ (a^{-2}+b^{-2})^{-1} = \left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)^{-1} = \left(\frac{b^2+a^2}{a^2b^2}\right)^{-1} = \frac{a^2b^2}{a^2+b^2} $.

3. Перемножим все части:
$ 2 \cdot \left(\frac{a^2+b^2}{b^2-a^2}\right) \cdot \left(\frac{b-a}{ab}\right) \cdot \left(\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}\right) \cdot \left(\frac{a+b}{ab}\right) $.

Заметим, что $ b^2-a^2 = (b-a)(b+a) $. Сократим множители:
$ 2 \cdot \frac{a^2+b^2}{(b-a)(b+a)} \cdot \frac{b-a}{ab} \cdot \frac{a^2b^2}{a^2+b^2} \cdot \frac{a+b}{ab} $
$ = 2 \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{ab} \cdot a^2b^2 \cdot \frac{1}{ab} = \frac{2 a^2b^2}{a^2b^2} = 2 $.

Ответ: 2.

д)

Упростим выражение: $ \frac{a^{-2}+b^{-2}}{a^{-1}+b^{-1}} \cdot \left(\frac{a^2+b^2}{ab}\right)^{-1} - (a+b)^{-1} $.

Заменим отрицательные степени на дроби.

1. Упростим первую дробь:
$ \frac{a^{-2}+b^{-2}}{a^{-1}+b^{-1}} = \frac{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} = \frac{\frac{b^2+a^2}{a^2b^2}}{\frac{b+a}{ab}} = \frac{a^2+b^2}{a^2b^2} \cdot \frac{ab}{a+b} = \frac{a^2+b^2}{ab(a+b)} $.

2. Упростим второй множитель:
$ \left(\frac{a^2+b^2}{ab}\right)^{-1} = \frac{ab}{a^2+b^2} $.

3. Перемножим первые два члена:
$ \frac{a^2+b^2}{ab(a+b)} \cdot \frac{ab}{a^2+b^2} = \frac{1}{a+b} $.

4. Выполним вычитание:
$ \frac{1}{a+b} - (a+b)^{-1} = \frac{1}{a+b} - \frac{1}{a+b} = 0 $.

Ответ: 0.

23 $ \left( \frac{(a + 2)^2 - a^2}{4a^2 - 4} - \frac{3}{a^2 - a} \right) : \frac{a - 3}{a^3 - 1} $ найдите его значение при $ a = \frac{1}{3}. $

Для решения задачи сначала упростим данное алгебраическое выражение, а затем подставим в него указанное значение переменной $a$.

Исходное выражение: $(\frac{(a+2)^2 - a^2}{4a^2 - 4} - \frac{3}{a^2 - a}) : \frac{a - 3}{a^3 - 1}$

1. Упростим выражение в скобках.

Рассмотрим первую дробь $\frac{(a+2)^2 - a^2}{4a^2 - 4}$.

В числителе применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$(a+2)^2 - a^2 = ((a+2) - a)((a+2) + a) = (2)(2a+2) = 4(a+1)$.

В знаменателе вынесем общий множитель за скобки и также применим формулу разности квадратов:

$4a^2 - 4 = 4(a^2 - 1) = 4(a-1)(a+1)$.

Теперь первая дробь имеет вид:

$\frac{4(a+1)}{4(a-1)(a+1)} = \frac{1}{a-1}$ (при условии, что $a \neq 1$ и $a \neq -1$).

Рассмотрим вторую дробь $\frac{3}{a^2 - a}$.

В знаменателе вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a^2 - a = a(a-1)$.

Теперь выполним вычитание дробей в скобках:

$\frac{1}{a-1} - \frac{3}{a(a-1)} = \frac{a}{a(a-1)} - \frac{3}{a(a-1)} = \frac{a-3}{a(a-1)}$.

2. Выполним деление.

Результат из скобок нужно разделить на $\frac{a-3}{a^3-1}$.

$(\frac{a-3}{a(a-1)}) : \frac{a-3}{a^3-1}$

Разложим знаменатель делителя $a^3-1$ по формуле разности кубов $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$:

$a^3-1 = (a-1)(a^2+a \cdot 1 + 1^2) = (a-1)(a^2+a+1)$.

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$\frac{a-3}{a(a-1)} \cdot \frac{(a-1)(a^2+a+1)}{a-3}$.

Сократим одинаковые множители $(a-3)$ и $(a-1)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq 3$ и $a \neq 1$):

$\frac{\cancel{a-3}}{a(\cancel{a-1})} \cdot \frac{(\cancel{a-1})(a^2+a+1)}{\cancel{a-3}} = \frac{a^2+a+1}{a}$.

3. Найдем значение выражения при $a = \frac{1}{3}$.

Подставим значение $a = \frac{1}{3}$ в упрощенное выражение $\frac{a^2+a+1}{a}$:

$\frac{(\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} + 1}{\frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 1}{\frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{9} + \frac{3}{9} + \frac{9}{9}}{\frac{1}{3}} = \frac{\frac{1+3+9}{9}}{\frac{1}{3}} = \frac{\frac{13}{9}}{\frac{1}{3}}$.

Выполним деление дробей:

$\frac{13}{9} \cdot \frac{3}{1} = \frac{13 \cdot 3}{9} = \frac{13}{3}$.

Ответ: $\frac{13}{3}$

24 a) $\frac{3ab - b\sqrt{ab} + a\sqrt{ab} - 3b^2}{\sqrt{2^{-2}}(ab^{-1} + a^{-1}b) - 0,5} - 2ab - 6a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{3}{2}}$, где $a > b > 0$;

б) $x\sqrt[4]{a}(\sqrt{a} + \sqrt{x})^2 - \frac{(x\sqrt{a})^{\frac{3}{2}} + a\sqrt{ab} - 3b^2}{(ax^{-1} + 4\sqrt{a} + 4x)^{-\frac{1}{2}}} - x^3\sqrt[4]{a} - 1$, где $a > 0, x > 0$;

в) $1 - y + \frac{\sqrt[3]{(y-1)\sqrt{xy} + (3-y^{-1})\sqrt{xy^{-1}}}}{\sqrt[3]{y} - \sqrt[3]{y^{-2}}} \cdot y^{\frac{5}{6}}x^{-\frac{1}{6}}$, где $x > 0, y > 0.$

а) Упростим выражение по частям.
1. Рассмотрим числитель первой дроби:
$3ab - b\sqrt{ab} + a\sqrt{ab} - 3b^2$
Сгруппируем слагаемые:
$(a\sqrt{ab} - b\sqrt{ab}) + (3ab - 3b^2) = \sqrt{ab}(a-b) + 3b(a-b)$
Вынесем общий множитель $(a-b)$:
$(a-b)(\sqrt{ab} + 3b)$
2. Рассмотрим знаменатель первой дроби:
$\sqrt{2^{-2}(ab^{-1} + a^{-1}b) - 0,5}$
Преобразуем выражение под корнем:
$2^{-2}(ab^{-1} + a^{-1}b) - 0,5 = \frac{1}{4}(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}(\frac{a^2+b^2}{ab}) - \frac{2ab}{4ab} = \frac{a^2+b^2-2ab}{4ab} = \frac{(a-b)^2}{4ab}$
Тогда знаменатель равен:
$\sqrt{\frac{(a-b)^2}{4ab}} = \frac{|a-b|}{2\sqrt{ab}}$
По условию $a > b > 0$, поэтому $a-b > 0$ и $|a-b| = a-b$.
Знаменатель равен $\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}$.
3. Теперь упростим всю первую дробь:
$\frac{(a-b)(\sqrt{ab} + 3b)}{\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}} = (\sqrt{ab} + 3b) \cdot 2\sqrt{ab} = 2\sqrt{ab}\sqrt{ab} + 6b\sqrt{ab} = 2ab + 6b\sqrt{ab}$
4. Рассмотрим оставшуюся часть выражения:
$-2ab - 6a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{3}{2}} = -2ab - 6\sqrt{a} \cdot b\sqrt{b} = -2ab - 6b\sqrt{ab}$
5. Соберем все части вместе:
$(2ab + 6b\sqrt{ab}) - 2ab - 6b\sqrt{ab} = 0$
Ответ: 0

б) В условии задачи, по-видимому, допущена опечатка. В числителе дроби $\frac{(x\sqrt{a})^{\frac{3}{2}} + a\sqrt{ab} - 3b^2}{(ax^{-1} + 4\sqrt{a} + 4x)^{-\frac{1}{2}}}$ присутствуют переменные $b$, которые не определены в условии задачи (где задано $a>0, x>0$). Вероятно, часть выражения была ошибочно скопирована из пункта а).
Хотя знаменатель дроби можно упростить:
$ax^{-1} + 4\sqrt{a} + 4x = \frac{a}{x} + 4\sqrt{a} + 4x = (\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}})^2 + 2 \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}} \cdot 2\sqrt{x} + (2\sqrt{x})^2 = (\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}} + 2\sqrt{x})^2$.
Тогда выражение в знаменателе дроби равно $((\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}} + 2\sqrt{x})^2)^{-\frac{1}{2}} = (\frac{\sqrt{a}+2x}{\sqrt{x}})^{-1} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{a}+2x}$.
Однако из-за неопределенности в числителе дальнейшее упрощение всего выражения невозможно без исправления опечатки.
Ответ: Решение невозможно из-за опечатки в условии.

в) В данном выражении, вероятно, также содержится опечатка. Упрощение выражения в представленном виде приводит к очень громоздкому результату, что нехарактерно для задач такого типа. Продемонстрируем это.
1. Упростим знаменатель дроби:
$\sqrt[3]{y} - \sqrt[3]{y^{-2}} = y^{\frac{1}{3}} - y^{-\frac{2}{3}} = y^{-\frac{2}{3}}(y^{\frac{1}{3} - (-\frac{2}{3})} - 1) = y^{-\frac{2}{3}}(y-1)$
2. Рассмотрим числитель дроби. Судя по изображению, это $\sqrt{(y-1)\sqrt{xy} + (3-y^{-1})\sqrt{xy^{-1}}}$.
Упростим выражение под корнем:
$(y-1)\sqrt{xy} + (3-\frac{1}{y})\sqrt{\frac{x}{y}} = (y-1)x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + \frac{3y-1}{y}x^{\frac{1}{2}}y^{-\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}}[(y-1)y^{\frac{1}{2}} + (3y-1)y^{-\frac{3}{2}}]$
$= x^{\frac{1}{2}}[y^{\frac{3}{2}} - y^{\frac{1}{2}} + 3y^{-\frac{1}{2}} - y^{-\frac{3}{2}}] = x^{\frac{1}{2}}y^{-\frac{3}{2}}(y^3-y^2+3y-1)$
3. Дробь с множителем имеет вид:
$\frac{\sqrt{x^{\frac{1}{2}}y^{-\frac{3}{2}}(y^3-y^2+3y-1)}}{y^{-\frac{2}{3}}(y-1)} \cdot y^{\frac{5}{6}}x^{-\frac{1}{6}} = \frac{x^{\frac{1}{4}}y^{-\frac{3}{4}}\sqrt{y^3-y^2+3y-1}}{y^{-\frac{2}{3}}(y-1)} \cdot y^{\frac{5}{6}}x^{-\frac{1}{6}}$
$= \frac{\sqrt{y^3-y^2+3y-1}}{y-1} \cdot x^{\frac{1}{4}-\frac{1}{6}} \cdot y^{-\frac{3}{4}-(-\frac{2}{3})+\frac{5}{6}} = \frac{\sqrt{y^3-y^2+3y-1}}{y-1} \cdot x^{\frac{1}{12}} \cdot y^{\frac{-9+8+10}{12}} = \frac{\sqrt{y^3-y^2+3y-1}}{y-1} x^{\frac{1}{12}}y^{\frac{9}{12}}$
4. Итоговое выражение:
$1 - y + \frac{\sqrt{y^3-y^2+3y-1}}{y-1} x^{\frac{1}{12}}y^{\frac{3}{4}}$
Это выражение далее не упрощается. Отсутствие красивого ответа указывает на вероятную опечатку в исходном условии.
Ответ: Решение невозможно из-за вероятной опечатки в условии.

25 Сократите дробь и вычислите значение полученного выражения при указанном значении x:

а) $ \frac{x^3 + 4x^2 - 9x - 36}{x^3 + 2x^2 - 11x - 12} $, $ x = 3 $;

б) $ \frac{x^3 + 7x^2 + 16x + 12}{x^3 + 5x^2 + 8x + 4} $, $ x = -2 $.

a) Рассмотрим выражение $\frac{x^3 + 4x^2 - 9x - 36}{x^3 + 2x^2 - 11x - 12}$ при $x=3$.
Если подставить $x=3$ в числитель и знаменатель, получим неопределенность вида $\frac{0}{0}$:
Числитель: $3^3 + 4 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3 - 36 = 27 + 4 \cdot 9 - 27 - 36 = 27 + 36 - 27 - 36 = 0$.
Знаменатель: $3^3 + 2 \cdot 3^2 - 11 \cdot 3 - 12 = 27 + 2 \cdot 9 - 33 - 12 = 27 + 18 - 33 - 12 = 45 - 45 = 0$.
Это означает, что и числитель, и знаменатель делятся на $(x-3)$ без остатка. Разложим их на множители.

Разложим числитель на множители методом группировки: $x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = (x^3 + 4x^2) - (9x + 36) = x^2(x+4) - 9(x+4) = (x^2 - 9)(x+4) = (x-3)(x+3)(x+4)$.

Разложим на множители знаменатель. Поскольку $x=3$ является корнем многочлена $x^3 + 2x^2 - 11x - 12$, разделим его на $(x-3)$ (например, столбиком или по схеме Горнера). Получим: $x^3 + 2x^2 - 11x - 12 = (x-3)(x^2 + 5x + 4)$. Квадратный трехчлен $x^2 + 5x + 4$ также разложим на множители. Его корни $x_1 = -1$ и $x_2 = -4$. Следовательно, $x^2 + 5x + 4 = (x+1)(x+4)$. Таким образом, знаменатель равен $(x-3)(x+1)(x+4)$.

Теперь сократим дробь: $\frac{x^3 + 4x^2 - 9x - 36}{x^3 + 2x^2 - 11x - 12} = \frac{(x-3)(x+3)(x+4)}{(x-3)(x+1)(x+4)}$.
При $x \neq 3$ и $x \neq -4$ можно сократить общие множители $(x-3)$ и $(x+4)$: $\frac{(x-3)(x+3)(x+4)}{(x-3)(x+1)(x+4)} = \frac{x+3}{x+1}$.

Теперь вычислим значение полученного выражения при $x=3$: $\frac{3+3}{3+1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{x^3 + 7x^2 + 16x + 12}{x^3 + 5x^2 + 8x + 4}$ при $x=-2$.
Подстановка $x=-2$ в числитель и знаменатель приводит к неопределенности $\frac{0}{0}$:
Числитель: $(-2)^3 + 7(-2)^2 + 16(-2) + 12 = -8 + 7 \cdot 4 - 32 + 12 = -8 + 28 - 32 + 12 = 0$.
Знаменатель: $(-2)^3 + 5(-2)^2 + 8(-2) + 4 = -8 + 5 \cdot 4 - 16 + 4 = -8 + 20 - 16 + 4 = 0$.
Следовательно, многочлены в числителе и знаменателе делятся на $(x+2)$. Разложим их на множители.

Разложим числитель. Разделив $x^3 + 7x^2 + 16x + 12$ на $(x+2)$, получим $x^2 + 5x + 6$. Квадратный трехчлен $x^2 + 5x + 6$ раскладывается на множители $(x+2)(x+3)$. Значит, числитель равен $(x+2)(x^2 + 5x + 6) = (x+2)(x+2)(x+3) = (x+2)^2(x+3)$.

Разложим знаменатель. Разделив $x^3 + 5x^2 + 8x + 4$ на $(x+2)$, получим $x^2 + 3x + 2$. Квадратный трехчлен $x^2 + 3x + 2$ раскладывается на множители $(x+1)(x+2)$. Значит, знаменатель равен $(x+2)(x^2 + 3x + 2) = (x+2)(x+1)(x+2) = (x+1)(x+2)^2$.

Теперь сократим дробь: $\frac{x^3 + 7x^2 + 16x + 12}{x^3 + 5x^2 + 8x + 4} = \frac{(x+2)^2(x+3)}{(x+1)(x+2)^2}$.
При $x \neq -2$ можно сократить общий множитель $(x+2)^2$: $\frac{(x+2)^2(x+3)}{(x+1)(x+2)^2} = \frac{x+3}{x+1}$.

Вычислим значение полученного выражения при $x=-2$: $\frac{-2+3}{-2+1} = \frac{1}{-1} = -1$.

Ответ: $-1$.

26 Упростите выражение:

а) $\frac{2}{a - 2\sqrt{a}} - \frac{1}{\sqrt{a} + 2} + \frac{1}{\sqrt{a}}$;

б) $\frac{a - a^{-1}}{1 + a^{-1}} - \frac{a - a^{-1}}{1 - a^{-1}}$.

а) Чтобы упростить выражение $ \frac{2}{a - 2\sqrt{a}} - \frac{1}{\sqrt{a} + 2} + \frac{1}{\sqrt{a}} $, приведем все дроби к общему знаменателю.

Сначала разложим знаменатель первой дроби на множители: $ a - 2\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a} - 2) $. Знаменатели трех дробей: $ \sqrt{a}(\sqrt{a} - 2) $, $ \sqrt{a} + 2 $ и $ \sqrt{a} $. Наименьший общий знаменатель для них — это $ \sqrt{a}(\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} + 2) $. Заметим, что $ (\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} + 2) $ является разностью квадратов: $ (\sqrt{a})^2 - 2^2 = a - 4 $. Таким образом, общий знаменатель равен $ \sqrt{a}(a - 4) $.

Теперь приведем каждую дробь к этому знаменателю.
Первая дробь: $ \frac{2}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 2)} = \frac{2(\sqrt{a} + 2)}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} + 2)} = \frac{2\sqrt{a} + 4}{\sqrt{a}(a-4)} $.
Вторая дробь: $ \frac{1}{\sqrt{a} + 2} = \frac{1 \cdot \sqrt{a}(\sqrt{a} - 2)}{(\sqrt{a} + 2) \cdot \sqrt{a}(\sqrt{a} - 2)} = \frac{a - 2\sqrt{a}}{\sqrt{a}(a-4)} $.
Третья дробь: $ \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1 \cdot (a-4)}{\sqrt{a}(a-4)} = \frac{a-4}{\sqrt{a}(a-4)} $.

Выполним действия с дробями:
$ \frac{2\sqrt{a} + 4}{\sqrt{a}(a-4)} - \frac{a - 2\sqrt{a}}{\sqrt{a}(a-4)} + \frac{a - 4}{\sqrt{a}(a-4)} = \frac{(2\sqrt{a} + 4) - (a - 2\sqrt{a}) + (a - 4)}{\sqrt{a}(a-4)} $.

Упростим числитель, раскрыв скобки:
$ 2\sqrt{a} + 4 - a + 2\sqrt{a} + a - 4 = (2\sqrt{a} + 2\sqrt{a}) + (-a + a) + (4 - 4) = 4\sqrt{a} $.

Получаем дробь $ \frac{4\sqrt{a}}{\sqrt{a}(a - 4)} $. Сократим $ \sqrt{a} $ в числителе и знаменателе.
$ \frac{4}{a - 4} $.

Ответ: $ \frac{4}{a - 4} $.

б) Рассмотрим выражение $ \frac{a - a^{-1}}{1 + a^{-1}} - \frac{a - a^{-1}}{1 - a^{-1}} $.

По определению отрицательной степени, $ a^{-1} = \frac{1}{a} $. Заменим $ a^{-1} $ в выражении:
$ \frac{a - \frac{1}{a}}{1 + \frac{1}{a}} - \frac{a - \frac{1}{a}}{1 - \frac{1}{a}} $.

Упростим каждую сложную дробь по отдельности. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на $ a $.
Первая дробь: $ \frac{(a - \frac{1}{a}) \cdot a}{(1 + \frac{1}{a}) \cdot a} = \frac{a^2 - 1}{a + 1} $. Используя формулу разности квадратов $ a^2 - 1 = (a-1)(a+1) $, получаем $ \frac{(a-1)(a+1)}{a+1} = a-1 $.
Вторая дробь: $ \frac{(a - \frac{1}{a}) \cdot a}{(1 - \frac{1}{a}) \cdot a} = \frac{a^2 - 1}{a - 1} $. Аналогично, $ \frac{(a-1)(a+1)}{a-1} = a+1 $.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное:
$ (a-1) - (a+1) $.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$ a - 1 - a - 1 = -2 $.

Ответ: $ -2 $.

27 Упростите выражение:

$\left(\frac{1}{a^2 - \sqrt{x+a^4}} + \frac{1}{a^2 + \sqrt{x+a^4}}\right)^{-1} + \left(\frac{2a^2+a^4}{x+a^4} + \frac{1}{1+a^4x^{-1}} - 1\right)^{-1}.$

Для упрощения данного выражения разобьем решение на последовательные шаги.

1. Упрощение первого слагаемого

Первое слагаемое представляет собой выражение $\left( \frac{1}{a^2 - \sqrt{x+a^4}} + \frac{1}{a^2 + \sqrt{x+a^4}} \right)^{-1}$. Сначала выполним сложение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю, который равен $(a^2 - \sqrt{x+a^4})(a^2 + \sqrt{x+a^4})$. Используя формулу разности квадратов $(u-v)(u+v) = u^2-v^2$, получаем:

$(a^2 - \sqrt{x+a^4})(a^2 + \sqrt{x+a^4}) = (a^2)^2 - (\sqrt{x+a^4})^2 = a^4 - (x+a^4) = a^4 - x - a^4 = -x$.

Теперь сложим дроби:

$\frac{1}{a^2 - \sqrt{x+a^4}} + \frac{1}{a^2 + \sqrt{x+a^4}} = \frac{(a^2 + \sqrt{x+a^4}) + (a^2 - \sqrt{x+a^4})}{(a^2 - \sqrt{x+a^4})(a^2 + \sqrt{x+a^4})} = \frac{2a^2}{-x} = -\frac{2a^2}{x}$.

Возведем полученный результат в степень -1:

$\left(-\frac{2a^2}{x}\right)^{-1} = -\frac{x}{2a^2}$.

2. Упрощение второго слагаемого

Второе слагаемое: $\left( \frac{2a^2 + a^4}{x + a^4} + \frac{1}{1 + a^4 x^{-1}} - 1 \right)^{-1}$. Упростим выражение в скобках. Начнем с преобразования дроби $\frac{1}{1 + a^4 x^{-1}}$:

$\frac{1}{1 + a^4 x^{-1}} = \frac{1}{1 + \frac{a^4}{x}} = \frac{1}{\frac{x+a^4}{x}} = \frac{x}{x+a^4}$.

Подставим это в выражение в скобках и приведем к общему знаменателю:

$\frac{2a^2 + a^4}{x + a^4} + \frac{x}{x+a^4} - 1 = \frac{2a^2 + a^4 + x}{x + a^4} - \frac{x+a^4}{x+a^4} = \frac{(2a^2 + a^4 + x) - (x+a^4)}{x + a^4} = \frac{2a^2 + a^4 + x - x - a^4}{x + a^4} = \frac{2a^2}{x + a^4}$.

Теперь возведем результат в степень -1:

$\left(\frac{2a^2}{x + a^4}\right)^{-1} = \frac{x + a^4}{2a^2}$.

3. Сложение результатов

Осталось сложить полученные выражения для первого и второго слагаемых:

$-\frac{x}{2a^2} + \frac{x + a^4}{2a^2}$.

Так как знаменатели одинаковы, сложим числители:

$\frac{-x + (x + a^4)}{2a^2} = \frac{-x + x + a^4}{2a^2} = \frac{a^4}{2a^2}$.

Сократим полученную дробь (при условии $a \neq 0$):

$\frac{a^4}{2a^2} = \frac{a^2}{2}$.

Ответ: $\frac{a^2}{2}$