Номер 24, страница 412 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 24, страница 412.

Условие.

24 a) $\frac{3ab - b\sqrt{ab} + a\sqrt{ab} - 3b^2}{\sqrt{2^{-2}}(ab^{-1} + a^{-1}b) - 0,5} - 2ab - 6a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{3}{2}}$, где $a > b > 0$;

б) $x\sqrt[4]{a}(\sqrt{a} + \sqrt{x})^2 - \frac{(x\sqrt{a})^{\frac{3}{2}} + a\sqrt{ab} - 3b^2}{(ax^{-1} + 4\sqrt{a} + 4x)^{-\frac{1}{2}}} - x^3\sqrt[4]{a} - 1$, где $a > 0, x > 0$;

в) $1 - y + \frac{\sqrt[3]{(y-1)\sqrt{xy} + (3-y^{-1})\sqrt{xy^{-1}}}}{\sqrt[3]{y} - \sqrt[3]{y^{-2}}} \cdot y^{\frac{5}{6}}x^{-\frac{1}{6}}$, где $x > 0, y > 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Упростим выражение по частям.
1. Рассмотрим числитель первой дроби:
$3ab - b\sqrt{ab} + a\sqrt{ab} - 3b^2$
Сгруппируем слагаемые:
$(a\sqrt{ab} - b\sqrt{ab}) + (3ab - 3b^2) = \sqrt{ab}(a-b) + 3b(a-b)$
Вынесем общий множитель $(a-b)$:
$(a-b)(\sqrt{ab} + 3b)$
2. Рассмотрим знаменатель первой дроби:
$\sqrt{2^{-2}(ab^{-1} + a^{-1}b) - 0,5}$
Преобразуем выражение под корнем:
$2^{-2}(ab^{-1} + a^{-1}b) - 0,5 = \frac{1}{4}(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}(\frac{a^2+b^2}{ab}) - \frac{2ab}{4ab} = \frac{a^2+b^2-2ab}{4ab} = \frac{(a-b)^2}{4ab}$
Тогда знаменатель равен:
$\sqrt{\frac{(a-b)^2}{4ab}} = \frac{|a-b|}{2\sqrt{ab}}$
По условию $a > b > 0$, поэтому $a-b > 0$ и $|a-b| = a-b$.
Знаменатель равен $\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}$.
3. Теперь упростим всю первую дробь:
$\frac{(a-b)(\sqrt{ab} + 3b)}{\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}} = (\sqrt{ab} + 3b) \cdot 2\sqrt{ab} = 2\sqrt{ab}\sqrt{ab} + 6b\sqrt{ab} = 2ab + 6b\sqrt{ab}$
4. Рассмотрим оставшуюся часть выражения:
$-2ab - 6a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{3}{2}} = -2ab - 6\sqrt{a} \cdot b\sqrt{b} = -2ab - 6b\sqrt{ab}$
5. Соберем все части вместе:
$(2ab + 6b\sqrt{ab}) - 2ab - 6b\sqrt{ab} = 0$
Ответ: 0

б) В условии задачи, по-видимому, допущена опечатка. В числителе дроби $\frac{(x\sqrt{a})^{\frac{3}{2}} + a\sqrt{ab} - 3b^2}{(ax^{-1} + 4\sqrt{a} + 4x)^{-\frac{1}{2}}}$ присутствуют переменные $b$, которые не определены в условии задачи (где задано $a>0, x>0$). Вероятно, часть выражения была ошибочно скопирована из пункта а).
Хотя знаменатель дроби можно упростить:
$ax^{-1} + 4\sqrt{a} + 4x = \frac{a}{x} + 4\sqrt{a} + 4x = (\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}})^2 + 2 \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}} \cdot 2\sqrt{x} + (2\sqrt{x})^2 = (\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}} + 2\sqrt{x})^2$.
Тогда выражение в знаменателе дроби равно $((\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}} + 2\sqrt{x})^2)^{-\frac{1}{2}} = (\frac{\sqrt{a}+2x}{\sqrt{x}})^{-1} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{a}+2x}$.
Однако из-за неопределенности в числителе дальнейшее упрощение всего выражения невозможно без исправления опечатки.
Ответ: Решение невозможно из-за опечатки в условии.

в) В данном выражении, вероятно, также содержится опечатка. Упрощение выражения в представленном виде приводит к очень громоздкому результату, что нехарактерно для задач такого типа. Продемонстрируем это.
1. Упростим знаменатель дроби:
$\sqrt[3]{y} - \sqrt[3]{y^{-2}} = y^{\frac{1}{3}} - y^{-\frac{2}{3}} = y^{-\frac{2}{3}}(y^{\frac{1}{3} - (-\frac{2}{3})} - 1) = y^{-\frac{2}{3}}(y-1)$
2. Рассмотрим числитель дроби. Судя по изображению, это $\sqrt{(y-1)\sqrt{xy} + (3-y^{-1})\sqrt{xy^{-1}}}$.
Упростим выражение под корнем:
$(y-1)\sqrt{xy} + (3-\frac{1}{y})\sqrt{\frac{x}{y}} = (y-1)x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + \frac{3y-1}{y}x^{\frac{1}{2}}y^{-\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}}[(y-1)y^{\frac{1}{2}} + (3y-1)y^{-\frac{3}{2}}]$
$= x^{\frac{1}{2}}[y^{\frac{3}{2}} - y^{\frac{1}{2}} + 3y^{-\frac{1}{2}} - y^{-\frac{3}{2}}] = x^{\frac{1}{2}}y^{-\frac{3}{2}}(y^3-y^2+3y-1)$
3. Дробь с множителем имеет вид:
$\frac{\sqrt{x^{\frac{1}{2}}y^{-\frac{3}{2}}(y^3-y^2+3y-1)}}{y^{-\frac{2}{3}}(y-1)} \cdot y^{\frac{5}{6}}x^{-\frac{1}{6}} = \frac{x^{\frac{1}{4}}y^{-\frac{3}{4}}\sqrt{y^3-y^2+3y-1}}{y^{-\frac{2}{3}}(y-1)} \cdot y^{\frac{5}{6}}x^{-\frac{1}{6}}$
$= \frac{\sqrt{y^3-y^2+3y-1}}{y-1} \cdot x^{\frac{1}{4}-\frac{1}{6}} \cdot y^{-\frac{3}{4}-(-\frac{2}{3})+\frac{5}{6}} = \frac{\sqrt{y^3-y^2+3y-1}}{y-1} \cdot x^{\frac{1}{12}} \cdot y^{\frac{-9+8+10}{12}} = \frac{\sqrt{y^3-y^2+3y-1}}{y-1} x^{\frac{1}{12}}y^{\frac{9}{12}}$
4. Итоговое выражение:
$1 - y + \frac{\sqrt{y^3-y^2+3y-1}}{y-1} x^{\frac{1}{12}}y^{\frac{3}{4}}$
Это выражение далее не упрощается. Отсутствие красивого ответа указывает на вероятную опечатку в исходном условии.
Ответ: Решение невозможно из-за вероятной опечатки в условии.