Номер 21, страница 412 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Задания для повторения - номер 21, страница 412.
№21 (с. 412)
Условие. №21 (с. 412)
скриншот условия

Упростите выражение (21–24):
21 $\left( \frac{a+b}{a-b} + \frac{a-b}{a+b} - \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} \right) \cdot \frac{5a^2-5b^2}{a^2+b^2}$
Решение 1. №21 (с. 412)

Решение 2. №21 (с. 412)

Решение 4. №21 (с. 412)
Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку. Сначала преобразуем выражение в скобках, приведя все дроби к общему знаменателю.
$$ \left( \frac{a+b}{a-b} + \frac{a-b}{a+b} - \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} \right) \cdot \frac{5a^2-5b^2}{a^2+b^2} $$
1. Найдем общий знаменатель для дробей в скобках. Используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Таким образом, общий знаменатель — это $a^2-b^2$.
2. Приведем первую и вторую дроби к общему знаменателю:
$$ \frac{a+b}{a-b} = \frac{(a+b)(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a+b)^2}{a^2-b^2} $$
$$ \frac{a-b}{a+b} = \frac{(a-b)(a-b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{(a-b)^2}{a^2-b^2} $$
3. Выполним сложение и вычитание дробей в скобках:
$$ \frac{(a+b)^2}{a^2-b^2} + \frac{(a-b)^2}{a^2-b^2} - \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} = \frac{(a+b)^2 + (a-b)^2 - (a^2+b^2)}{a^2-b^2} $$
4. Раскроем скобки в числителе, используя формулы сокращенного умножения: $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.
$$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$
$$ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $$
Подставим раскрытые выражения в числитель:
$$ \frac{(a^2+2ab+b^2) + (a^2-2ab+b^2) - a^2 - b^2}{a^2-b^2} $$
5. Приведем подобные слагаемые в числителе:
$$ \frac{a^2+a^2-a^2 + 2ab-2ab + b^2+b^2-b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} $$
6. Теперь результат, полученный в скобках, умножим на вторую дробь из исходного выражения. Предварительно вынесем общий множитель 5 за скобки в числителе второй дроби:
$$ \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} \cdot \frac{5a^2-5b^2}{a^2+b^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} \cdot \frac{5(a^2-b^2)}{a^2+b^2} $$
7. Сократим полученное выражение. Множитель $(a^2+b^2)$ в числителе и знаменателе сокращается. Множитель $(a^2-b^2)$ также сокращается.
$$ \frac{\cancel{a^2+b^2}}{\cancel{a^2-b^2}} \cdot \frac{5(\cancel{a^2-b^2})}{\cancel{a^2+b^2}} = 5 $$
Упрощение справедливо при условиях $a \neq b$ и $a \neq -b$, так как знаменатели не должны быть равны нулю.
Ответ: 5
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 21 расположенного на странице 412 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №21 (с. 412), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.