Номер 21, страница 412 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 21, страница 412.

Условие.

Упростите выражение (21–24):

21 $\left( \frac{a+b}{a-b} + \frac{a-b}{a+b} - \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} \right) \cdot \frac{5a^2-5b^2}{a^2+b^2}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

21

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку. Сначала преобразуем выражение в скобках, приведя все дроби к общему знаменателю.

$$ \left( \frac{a+b}{a-b} + \frac{a-b}{a+b} - \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} \right) \cdot \frac{5a^2-5b^2}{a^2+b^2} $$

1. Найдем общий знаменатель для дробей в скобках. Используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Таким образом, общий знаменатель — это $a^2-b^2$.

2. Приведем первую и вторую дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{a+b}{a-b} = \frac{(a+b)(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a+b)^2}{a^2-b^2} $$

$$ \frac{a-b}{a+b} = \frac{(a-b)(a-b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{(a-b)^2}{a^2-b^2} $$

3. Выполним сложение и вычитание дробей в скобках:

$$ \frac{(a+b)^2}{a^2-b^2} + \frac{(a-b)^2}{a^2-b^2} - \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} = \frac{(a+b)^2 + (a-b)^2 - (a^2+b^2)}{a^2-b^2} $$

4. Раскроем скобки в числителе, используя формулы сокращенного умножения: $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.

$$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$

$$ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $$

Подставим раскрытые выражения в числитель:

$$ \frac{(a^2+2ab+b^2) + (a^2-2ab+b^2) - a^2 - b^2}{a^2-b^2} $$

5. Приведем подобные слагаемые в числителе:

$$ \frac{a^2+a^2-a^2 + 2ab-2ab + b^2+b^2-b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} $$

6. Теперь результат, полученный в скобках, умножим на вторую дробь из исходного выражения. Предварительно вынесем общий множитель 5 за скобки в числителе второй дроби:

$$ \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} \cdot \frac{5a^2-5b^2}{a^2+b^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} \cdot \frac{5(a^2-b^2)}{a^2+b^2} $$

7. Сократим полученное выражение. Множитель $(a^2+b^2)$ в числителе и знаменателе сокращается. Множитель $(a^2-b^2)$ также сокращается.

$$ \frac{\cancel{a^2+b^2}}{\cancel{a^2-b^2}} \cdot \frac{5(\cancel{a^2-b^2})}{\cancel{a^2+b^2}} = 5 $$

Упрощение справедливо при условиях $a \neq b$ и $a \neq -b$, так как знаменатели не должны быть равны нулю.

Ответ: 5