Номер 28, страница 413 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 28, страница 413.

Условие.

Вычислите (28–29):

28 а) $\sqrt{25-a^2} + \sqrt{13-a^2}$, если $\sqrt{25-a^2} - \sqrt{13-a^2} = 2;$

б) $\sqrt{34+a^2} - \sqrt{7+a^2}$, если $\sqrt{34+a^2} + \sqrt{7+a^2} = 6;$

в) $\sqrt[3]{(2+b)^2(21+b)} - \sqrt[3]{(2+b)(21+b)^2}$, если $\sqrt[3]{21+b} - \sqrt[3]{2+b} = 4;$

г) $\sqrt[3]{(3-2b)^2(1-2b)} - \sqrt[3]{(3-2b)(1-2b)^2}$, если $\sqrt[3]{3-2b} - \sqrt[3]{1-2b} = 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Обозначим $x = \sqrt{25-a^2}$ и $y = \sqrt{13-a^2}$. Требуется найти значение выражения $x+y$, если по условию дано, что $x-y=2$.
Воспользуемся формулой разности квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.
Вычислим $x^2$ и $y^2$:
$x^2 = (\sqrt{25-a^2})^2 = 25-a^2$
$y^2 = (\sqrt{13-a^2})^2 = 13-a^2$
Тогда их разность равна:
$x^2-y^2 = (25-a^2) - (13-a^2) = 25 - a^2 - 13 + a^2 = 12$.
Теперь подставим известные значения в формулу $(x+y)(x-y) = 12$:
$(x+y) \cdot 2 = 12$
Отсюда находим искомое значение:
$x+y = \frac{12}{2} = 6$.
Ответ: 6

б) Обозначим $x = \sqrt{34+a^2}$ и $y = \sqrt{7+a^2}$. Требуется найти значение выражения $x-y$, если по условию дано, что $x+y=6$.
Снова воспользуемся формулой разности квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.
Вычислим $x^2$ и $y^2$:
$x^2 = (\sqrt{34+a^2})^2 = 34+a^2$
$y^2 = (\sqrt{7+a^2})^2 = 7+a^2$
Тогда их разность равна:
$x^2-y^2 = (34+a^2) - (7+a^2) = 34 + a^2 - 7 - a^2 = 27$.
Теперь подставим известные значения в формулу $(x+y)(x-y) = 27$:
$6 \cdot (x-y) = 27$
Отсюда находим искомое значение:
$x-y = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$.
Ответ: 4,5

в) Обозначим $x = \sqrt[3]{21+b}$ и $y = \sqrt[3]{2+b}$. По условию дано, что $x-y=4$.
Выражение, значение которого нужно найти: $\sqrt[3]{(2+b)^2(21+b)} - \sqrt[3]{(2+b)(21+b)^2}$.
Используя наши обозначения, перепишем это выражение:
$\sqrt[3]{(2+b)^2} \cdot \sqrt[3]{21+b} - \sqrt[3]{2+b} \cdot \sqrt[3]{(21+b)^2} = y^2x - x^2y = xy(y-x)$.
Так как $x-y=4$, то $y-x = -4$. Значит, искомое выражение равно $xy \cdot (-4) = -4xy$.
Чтобы найти произведение $xy$, воспользуемся формулой разности кубов: $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.
$x^3 = (\sqrt[3]{21+b})^3 = 21+b$
$y^3 = (\sqrt[3]{2+b})^3 = 2+b$
$x^3-y^3 = (21+b) - (2+b) = 19$.
Подставим известные значения в формулу разности кубов:
$19 = 4 \cdot (x^2+xy+y^2)$.
Отсюда $x^2+xy+y^2 = \frac{19}{4}$.
Мы знаем, что $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$, значит $x^2+y^2 = (x-y)^2+2xy = 4^2+2xy = 16+2xy$.
Подставим это в предыдущее равенство: $(16+2xy)+xy = \frac{19}{4}$.
$16+3xy = \frac{19}{4} \implies 3xy = \frac{19}{4} - 16 = \frac{19-64}{4} = -\frac{45}{4}$.
$xy = -\frac{15}{4}$.
Искомое значение равно $-4xy = -4 \cdot (-\frac{15}{4}) = 15$.
Ответ: 15

г) Обозначим $x = \sqrt[3]{3-2b}$ и $y = \sqrt[3]{1-2b}$. По условию дано, что $x-y=2$.
Выражение, значение которого нужно найти: $\sqrt[3]{(3-2b)^2(1-2b)} - \sqrt[3]{(3-2b)(1-2b)^2}$.
Используя наши обозначения, перепишем это выражение:
$\sqrt[3]{(3-2b)^2} \cdot \sqrt[3]{1-2b} - \sqrt[3]{3-2b} \cdot \sqrt[3]{(1-2b)^2} = x^2y - xy^2 = xy(x-y)$.
Так как $x-y=2$, искомое выражение равно $xy \cdot 2 = 2xy$.
Чтобы найти произведение $xy$, воспользуемся формулой разности кубов: $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.
$x^3 = (\sqrt[3]{3-2b})^3 = 3-2b$
$y^3 = (\sqrt[3]{1-2b})^3 = 1-2b$
$x^3-y^3 = (3-2b) - (1-2b) = 2$.
Подставим известные значения в формулу разности кубов:
$2 = 2 \cdot (x^2+xy+y^2)$.
Отсюда $x^2+xy+y^2 = 1$.
Мы знаем, что $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$, значит $x^2+y^2 = (x-y)^2+2xy = 2^2+2xy = 4+2xy$.
Подставим это в предыдущее равенство: $(4+2xy)+xy = 1$.
$4+3xy = 1 \implies 3xy = -3 \implies xy = -1$.
Искомое значение равно $2xy = 2 \cdot (-1) = -2$.
Ответ: -2