Номер 29, страница 413 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 29, страница 413.

Условие.

29 a) $\frac{(a-b)^3 (\sqrt{a} + \sqrt{b})^{-3} + 2a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}$, если $a = \log^2_{\frac{1}{3}} 8$, $b = \log^2_{\frac{1}{3}} 4$;

б) $\frac{c+d}{2\sqrt{c^3}} \cdot \left(\sqrt{\frac{c^2-cd}{c+d}} + \sqrt{\frac{c^2+cd}{c-d}}\right)$, если $c = 17\log_2 3$, $d = 2\log_{0,5} 81$;

B) $\left(\left(\sqrt[4]{p} - \sqrt[4]{q}\right)^{-2} + \left(\sqrt[4]{p} + \sqrt[4]{q}\right)^{-2}\right) : \frac{\sqrt{p}+\sqrt{q}}{p-q}$, если $p = \log^2_{\frac{1}{2}} 3$, $q = \log^2_2 9$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Сначала упростим данное алгебраическое выражение. Пусть $x = \sqrt{a}$ и $y = \sqrt{b}$. Тогда $a = x^2$ и $b = y^2$.

Выражение принимает вид:

$\frac{(x^2-y^2)^3 (x+y)^{-3} + 2(x^2)\sqrt{x^2} + (y^2)\sqrt{y^2}}{(x^2)\sqrt{x^2} + (y^2)\sqrt{y^2}} = \frac{(x^2-y^2)^3 (x+y)^{-3} + 2x^3 + y^3}{x^3 + y^3}$

Упростим первый член в числителе:

$(x^2-y^2)^3 (x+y)^{-3} = ((x-y)(x+y))^3 (x+y)^{-3} = (x-y)^3 (x+y)^3 (x+y)^{-3} = (x-y)^3$

Подставим это обратно в выражение:

$\frac{(x-y)^3 + 2x^3 + y^3}{x^3 + y^3}$

Раскроем куб разности в числителе: $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

Числитель становится равен:

$(x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3) + 2x^3 + y^3 = 3x^3 - 3x^2y + 3xy^2 = 3x(x^2 - xy + y^2)$

Знаменатель является суммой кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

Теперь все выражение равно:

$\frac{3x(x^2 - xy + y^2)}{(x+y)(x^2 - xy + y^2)} = \frac{3x}{x+y}$

Подставляя обратно $x=\sqrt{a}$ и $y=\sqrt{b}$, получаем: $\frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$.

Теперь вычислим значения $a$ и $b$.

$a = \log_{\frac{2}{3}}^2 8 = (\log_{\frac{2}{3}} 8)^2 = \left(\frac{\log_2 8}{\log_2(2/3)}\right)^2 = \left(\frac{3}{\log_2 2 - \log_2 3}\right)^2 = \left(\frac{3}{1 - \log_2 3}\right)^2$

$b = \log_{\frac{1}{3}}^2 4 = (\log_{3^{-1}} 4)^2 = (-\log_3 4)^2 = (\log_3 4)^2 = (\log_3 2^2)^2 = (2\log_3 2)^2 = 4(\log_3 2)^2 = 4\left(\frac{1}{\log_2 3}\right)^2$

Пусть $t = \log_2 3$. Тогда $a = \left(\frac{3}{1 - t}\right)^2$ и $b = \frac{4}{t^2}$.

Найдем $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$. Так как $t = \log_2 3 > \log_2 2 = 1$, то $1-t < 0$.

$\sqrt{a} = \sqrt{\left(\frac{3}{1 - t}\right)^2} = \left|\frac{3}{1 - t}\right| = \frac{3}{-(1-t)} = \frac{3}{t-1}$

$\sqrt{b} = \sqrt{\frac{4}{t^2}} = \frac{2}{t}$ (поскольку $t>0$).

Подставим эти значения в упрощенное выражение:

$\frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{3 \cdot \frac{3}{t-1}}{\frac{3}{t-1} + \frac{2}{t}} = \frac{\frac{9}{t-1}}{\frac{3t + 2(t-1)}{t(t-1)}} = \frac{\frac{9}{t-1}}{\frac{5t-2}{t(t-1)}} = \frac{9}{t-1} \cdot \frac{t(t-1)}{5t-2} = \frac{9t}{5t-2}$

Заменяя $t$ обратно на $\log_2 3$, получаем конечный результат.

Ответ: $\frac{9\log_2 3}{5\log_2 3 - 2}$

б)

Сначала вычислим значения $c$ и $d$.

$c = 17 \log_2 3$

$d = 2 \log_{0.5} 81 = 2 \log_{2^{-1}} 3^4 = 2 \cdot (-4) \log_2 3 = -8 \log_2 3$

Пусть $L = \log_2 3$. Тогда $c = 17L$ и $d = -8L$. Заметим, что $L > 0$, поэтому $c > 0$ и $d < 0$.

Упростим данное выражение. ОДЗ: $c>0, c+d>0, c-d>0$.

$c+d=17L-8L=9L > 0$

$c-d=17L-(-8L)=25L > 0$. Все условия ОДЗ выполнены.

$\frac{c+d}{2\sqrt{c^3}} \cdot \left(\sqrt{\frac{c^2-cd}{c+d}} + \sqrt{\frac{c^2+cd}{c-d}}\right) = \frac{c+d}{2c\sqrt{c}} \cdot \left(\sqrt{\frac{c(c-d)}{c+d}} + \sqrt{\frac{c(c+d)}{c-d}}\right)$

Вынесем $\sqrt{c}$ из скобок:

$\frac{c+d}{2c\sqrt{c}} \cdot \sqrt{c} \left(\frac{\sqrt{c-d}}{\sqrt{c+d}} + \frac{\sqrt{c+d}}{\sqrt{c-d}}\right)$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$\frac{\sqrt{c-d}\sqrt{c-d} + \sqrt{c+d}\sqrt{c+d}}{\sqrt{c+d}\sqrt{c-d}} = \frac{(c-d)+(c+d)}{\sqrt{c^2-d^2}} = \frac{2c}{\sqrt{c^2-d^2}}$

Подставим это обратно в выражение:

$\frac{c+d}{2c\sqrt{c}} \cdot \sqrt{c} \cdot \frac{2c}{\sqrt{c^2-d^2}} = \frac{c+d}{2c\sqrt{c}} \cdot \frac{2c\sqrt{c}}{\sqrt{c^2-d^2}} = \frac{c+d}{\sqrt{c^2-d^2}}$

Упростим полученное выражение:

$\frac{c+d}{\sqrt{(c-d)(c+d)}} = \frac{\sqrt{(c+d)^2}}{\sqrt{c-d}\sqrt{c+d}} = \frac{\sqrt{c+d}}{\sqrt{c-d}} = \sqrt{\frac{c+d}{c-d}}$

Теперь подставим значения $c+d=9L$ и $c-d=25L$:

$\sqrt{\frac{9L}{25L}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

Ответ: $\frac{3}{5}$

в)

Сначала вычислим значения $p$ и $q$.

$p = \log_{\frac{1}{2}}^2 3 = (\log_{2^{-1}} 3)^2 = (-\log_2 3)^2 = (\log_2 3)^2$

$q = \log_2^2 9 = (\log_2 3^2)^2 = (2\log_2 3)^2 = 4(\log_2 3)^2$

Таким образом, мы видим, что $q = 4p$.

Упростим данное выражение. Пусть $x = \sqrt[4]{p}$ и $y = \sqrt[4]{q}$.

Первая часть выражения (в скобках):

$(\sqrt[4]{p}-\sqrt[4]{q})^{-2} + (\sqrt[4]{p}+\sqrt[4]{q})^{-2} = \frac{1}{(\sqrt[4]{p}-\sqrt[4]{q})^2} + \frac{1}{(\sqrt[4]{p}+\sqrt[4]{q})^2}$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{(\sqrt[4]{p}+\sqrt[4]{q})^2 + (\sqrt[4]{p}-\sqrt[4]{q})^2}{((\sqrt[4]{p}-\sqrt[4]{q})(\sqrt[4]{p}+\sqrt[4]{q}))^2} = \frac{(\sqrt{p}+2\sqrt[4]{pq}+\sqrt{q}) + (\sqrt{p}-2\sqrt[4]{pq}+\sqrt{q})}{(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2} = \frac{2(\sqrt{p}+\sqrt{q})}{(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2}$

Вторая часть выражения (делитель):

$\frac{\sqrt{p}+\sqrt{q}}{p-q} = \frac{\sqrt{p}+\sqrt{q}}{(\sqrt{p}-\sqrt{q})(\sqrt{p}+\sqrt{q})} = \frac{1}{\sqrt{p}-\sqrt{q}}$

Теперь выполним деление:

$\frac{2(\sqrt{p}+\sqrt{q})}{(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2} : \frac{1}{\sqrt{p}-\sqrt{q}} = \frac{2(\sqrt{p}+\sqrt{q})}{(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2} \cdot (\sqrt{p}-\sqrt{q}) = \frac{2(\sqrt{p}+\sqrt{q})}{\sqrt{p}-\sqrt{q}}$

Подставим в это выражение соотношение $q=4p$. Отсюда $\sqrt{q}=\sqrt{4p}=2\sqrt{p}$.

$\frac{2(\sqrt{p}+2\sqrt{p})}{\sqrt{p}-2\sqrt{p}} = \frac{2(3\sqrt{p})}{-\sqrt{p}}$

Поскольку $p = (\log_2 3)^2 > 0$, то $\sqrt{p} \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $\sqrt{p}$:

$\frac{6\sqrt{p}}{-\sqrt{p}} = -6$

Ответ: $-6$