Номер 36, страница 414 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 36, страница 414.

Условие.

36 a) Последовательность чисел $a_1, a_2, a_3 \dots$ устроена следующим образом: $a_1 = 1$, каждое последующее число равно удвоенной сумме предыдущих чисел, т. е. $a_2 = 2a_1, a_3 = 2(a_1 + a_2)$ и т. д. Найдите произведение всех чисел от $a_1$ до $a_{2001}$.

б) Последовательность чисел $a_1, a_2, a_3 \dots$ устроена следующим образом: $a_1 = 1$, каждое последующее число равно утроенной сумме предыдущих чисел, т. е. $a_2 = 3a_1, a_3 = 3(a_1 + a_2)$ и т. д. Найдите произведение всех чисел от $a_1$ до $a_{2001}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

По условию, последовательность чисел $a_1, a_2, a_3, \dots$ задается следующими правилами:
$a_1 = 1$
$a_n = 2 \sum_{i=1}^{n-1} a_i$ для $n \ge 2$.

Найдем несколько первых членов последовательности, чтобы выявить закономерность:
$a_1 = 1$
$a_2 = 2 a_1 = 2 \cdot 1 = 2$
$a_3 = 2(a_1 + a_2) = 2(1 + 2) = 6$
$a_4 = 2(a_1 + a_2 + a_3) = 2(1 + 2 + 6) = 18$

Можно заметить, что $a_3 = 3 \cdot a_2$ и $a_4 = 3 \cdot a_3$. Докажем, что для всех $n \ge 2$ выполняется соотношение $a_{n+1} = 3a_n$.
Пусть $S_{n-1} = \sum_{i=1}^{n-1} a_i$. Тогда по определению $a_n = 2S_{n-1}$.
Рассмотрим следующий член последовательности, $a_{n+1}$:
$a_{n+1} = 2 \sum_{i=1}^{n} a_i = 2 \left( \left(\sum_{i=1}^{n-1} a_i\right) + a_n \right) = 2(S_{n-1} + a_n)$.
Из $a_n = 2S_{n-1}$ следует, что $S_{n-1} = \frac{a_n}{2}$. Подставим это в выражение для $a_{n+1}$:
$a_{n+1} = 2\left(\frac{a_n}{2} + a_n\right) = 2\left(\frac{3}{2} a_n\right) = 3 a_n$.
Это рекуррентное соотношение показывает, что начиная со второго члена, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=3$.

Таким образом, мы можем записать общую формулу для $a_n$:
$a_1 = 1$
$a_n = a_2 \cdot 3^{n-2} = 2 \cdot 3^{n-2}$ для $n \ge 2$.

Теперь найдем произведение $P$ всех чисел от $a_1$ до $a_{2001}$:
$P = \prod_{n=1}^{2001} a_n = a_1 \cdot \prod_{n=2}^{2001} a_n = 1 \cdot \prod_{n=2}^{2001} (2 \cdot 3^{n-2})$.
Произведение от $n=2$ до $n=2001$ содержит $2001 - 2 + 1 = 2000$ членов.
$P = \left(\prod_{n=2}^{2001} 2\right) \cdot \left(\prod_{n=2}^{2001} 3^{n-2}\right) = 2^{2000} \cdot 3^{(2-2) + (3-2) + \dots + (2001-2)}$.
$P = 2^{2000} \cdot 3^{0 + 1 + 2 + \dots + 1999}$.

Сумма в показателе степени у тройки является суммой членов арифметической прогрессии от 0 до 1999.
$S = \frac{(0 + 1999) \cdot 2000}{2} = 1999 \cdot 1000 = 1999000$.
Подставляя найденную сумму, получаем окончательный результат:
$P = 2^{2000} \cdot 3^{1999000}$.

Ответ: $2^{2000} \cdot 3^{1999000}$.

---

б)

Данная задача решается аналогично предыдущей. Условия для последовательности:
$a_1 = 1$
$a_n = 3 \sum_{i=1}^{n-1} a_i$ для $n \ge 2$.

Найдем первые несколько членов:
$a_1 = 1$
$a_2 = 3 a_1 = 3 \cdot 1 = 3$
$a_3 = 3(a_1 + a_2) = 3(1 + 3) = 12$
$a_4 = 3(a_1 + a_2 + a_3) = 3(1 + 3 + 12) = 48$

Можно заметить, что $a_3 = 4 \cdot a_2$ и $a_4 = 4 \cdot a_3$. Докажем, что для всех $n \ge 2$ выполняется соотношение $a_{n+1} = 4a_n$.
Пусть $S_{n-1} = \sum_{i=1}^{n-1} a_i$. Тогда по определению $a_n = 3S_{n-1}$, откуда $S_{n-1} = \frac{a_n}{3}$.
Рассмотрим $a_{n+1}$:
$a_{n+1} = 3 \sum_{i=1}^{n} a_i = 3(S_{n-1} + a_n)$.
Подставим выражение для $S_{n-1}$:
$a_{n+1} = 3\left(\frac{a_n}{3} + a_n\right) = 3\left(\frac{4}{3} a_n\right) = 4 a_n$.
Следовательно, начиная со второго члена, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=4$.

Общая формула для $a_n$:
$a_1 = 1$
$a_n = a_2 \cdot 4^{n-2} = 3 \cdot 4^{n-2}$ для $n \ge 2$.

Найдем произведение $P$ всех чисел от $a_1$ до $a_{2001}$:
$P = \prod_{n=1}^{2001} a_n = a_1 \cdot \prod_{n=2}^{2001} a_n = 1 \cdot \prod_{n=2}^{2001} (3 \cdot 4^{n-2})$.
В произведении $2000$ членов.
$P = \left(\prod_{n=2}^{2001} 3\right) \cdot \left(\prod_{n=2}^{2001} 4^{n-2}\right) = 3^{2000} \cdot 4^{0 + 1 + 2 + \dots + 1999}$.

Сумма в показателе степени у четверки, как и в пункте а), равна $1999000$.
$P = 3^{2000} \cdot 4^{1999000}$.
Это выражение можно упростить, представив $4$ как $2^2$:
$P = 3^{2000} \cdot (2^2)^{1999000} = 3^{2000} \cdot 2^{2 \cdot 1999000} = 3^{2000} \cdot 2^{3998000}$.

Ответ: $3^{2000} \cdot 2^{3998000}$.