Страница 414 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

34 a) Первый, второй и четвёртый члены арифметической прогрессии одновременно являются соответственно первым, вторым и третьим членами некоторой геометрической прогрессии. Найдите все значения, которые может принимать знаменатель геометрической прогрессии.

б) Первый, четвёртый и пятый члены арифметической прогрессии одновременно являются соответственно первым, вторым и третьим членами некоторой геометрической прогрессии. Найдите все значения, которые может принимать знаменатель геометрической прогрессии.

а) Пусть $\{a_n\}$ — арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d$. Тогда ее члены задаются формулой $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Пусть $\{b_n\}$ — геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Тогда ее члены задаются формулой $b_n = b_1 q^{n-1}$.

По условию задачи, первый, второй и четвёртый члены арифметической прогрессии являются соответственно первым, вторым и третьим членами геометрической прогрессии. Запишем это в виде системы равенств:

$b_1 = a_1$

$b_2 = a_2 = a_1 + d$

$b_3 = a_4 = a_1 + 3d$

Для любой геометрической прогрессии (кроме случая, когда члены равны нулю) выполняется характеристическое свойство: квадрат любого члена, начиная со второго, равен произведению соседних с ним членов. Для наших трёх членов $b_1, b_2, b_3$ это свойство имеет вид $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Подставим в это равенство выражения для $b_1, b_2, b_3$ через $a_1$ и $d$:

$(a_1 + d)^2 = a_1 (a_1 + 3d)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$a_1^2 + 2a_1d + d^2 = a_1^2 + 3a_1d$

$d^2 + 2a_1d - 3a_1d = 0$

$d^2 - a_1d = 0$

$d(d - a_1) = 0$

Это уравнение имеет два решения:

1. $d = 0$.

Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все её члены равны первому члену: $a_n = a_1$ для любого $n$. Тогда члены геометрической прогрессии также равны: $b_1 = a_1, b_2 = a_1, b_3 = a_1$. Если предположить, что прогрессия не состоит из одних нулей (иначе знаменатель $q$ не определён, так как $b_1=0$), то $a_1 \neq 0$. В этом случае знаменатель геометрической прогрессии $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{a_1}{a_1} = 1$.

2. $d - a_1 = 0$, то есть $d = a_1$.

Рассмотрим случай, когда $a_1 \neq 0$ (если $a_1=0$, то и $d=0$, что является первым случаем). Подставим $d=a_1$ в выражения для членов геометрической прогрессии:

$b_1 = a_1$

$b_2 = a_1 + d = a_1 + a_1 = 2a_1$

$b_3 = a_1 + 3d = a_1 + 3a_1 = 4a_1$

Тогда знаменатель геометрической прогрессии $q$ можно найти как отношение второго члена к первому: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2a_1}{a_1} = 2$.

Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии может принимать два значения.

Ответ: $1; 2$.

б) Аналогично пункту а), обозначим члены арифметической прогрессии как $a_n = a_1 + (n-1)d$ и члены геометрической прогрессии как $b_n = b_1 q^{n-1}$.

По условию, первый, четвёртый и пятый члены арифметической прогрессии являются соответственно первым, вторым и третьим членами геометрической прогрессии. Запишем это в виде системы:

$b_1 = a_1$

$b_2 = a_4 = a_1 + 3d$

$b_3 = a_5 = a_1 + 4d$

Используем характеристическое свойство геометрической прогрессии $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Подставим выражения через $a_1$ и $d$:

$(a_1 + 3d)^2 = a_1 (a_1 + 4d)$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$a_1^2 + 6a_1d + 9d^2 = a_1^2 + 4a_1d$

$9d^2 + 6a_1d - 4a_1d = 0$

$9d^2 + 2a_1d = 0$

$d(9d + 2a_1) = 0$

Это уравнение также даёт два возможных случая:

1. $d = 0$.

Этот случай полностью аналогичен пункту а). Если $a_1 \neq 0$, то обе прогрессии постоянны, и знаменатель геометрической прогрессии $q = 1$.

2. $9d + 2a_1 = 0$, то есть $d = -\frac{2}{9}a_1$.

Предполагая $a_1 \neq 0$, найдём члены геометрической прогрессии:

$b_1 = a_1$

$b_2 = a_1 + 3d = a_1 + 3(-\frac{2}{9}a_1) = a_1 - \frac{6}{9}a_1 = a_1 - \frac{2}{3}a_1 = \frac{1}{3}a_1$

$b_3 = a_1 + 4d = a_1 + 4(-\frac{2}{9}a_1) = a_1 - \frac{8}{9}a_1 = \frac{1}{9}a_1$

Теперь найдём знаменатель $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{1}{3}a_1}{a_1} = \frac{1}{3}$.

Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии может принимать два значения.

Ответ: $1; \frac{1}{3}$.

35 a) Найдите арифметическую прогрессию, в которой сумма членов, сколько бы, начиная с первого, их ни взять, всегда равна утроенному квадрату числа этих же членов.

б) Найдите сумму $n$ первых членов ряда $7 + 77 + 777 + \dots$

36 a) Последовательность чисел $a_1, a_2, a_3 \dots$ устроена следующим образом: $a_1 = 1$, каждое последующее число равно удвоенной сумме предыдущих чисел, т. е. $a_2 = 2a_1, a_3 = 2(a_1 + a_2)$ и т. д. Найдите произведение всех чисел от $a_1$ до $a_{2001}$.

б) Последовательность чисел $a_1, a_2, a_3 \dots$ устроена следующим образом: $a_1 = 1$, каждое последующее число равно утроенной сумме предыдущих чисел, т. е. $a_2 = 3a_1, a_3 = 3(a_1 + a_2)$ и т. д. Найдите произведение всех чисел от $a_1$ до $a_{2001}$.

а)

По условию, последовательность чисел $a_1, a_2, a_3, \dots$ задается следующими правилами:
$a_1 = 1$
$a_n = 2 \sum_{i=1}^{n-1} a_i$ для $n \ge 2$.

Найдем несколько первых членов последовательности, чтобы выявить закономерность:
$a_1 = 1$
$a_2 = 2 a_1 = 2 \cdot 1 = 2$
$a_3 = 2(a_1 + a_2) = 2(1 + 2) = 6$
$a_4 = 2(a_1 + a_2 + a_3) = 2(1 + 2 + 6) = 18$

Можно заметить, что $a_3 = 3 \cdot a_2$ и $a_4 = 3 \cdot a_3$. Докажем, что для всех $n \ge 2$ выполняется соотношение $a_{n+1} = 3a_n$.
Пусть $S_{n-1} = \sum_{i=1}^{n-1} a_i$. Тогда по определению $a_n = 2S_{n-1}$.
Рассмотрим следующий член последовательности, $a_{n+1}$:
$a_{n+1} = 2 \sum_{i=1}^{n} a_i = 2 \left( \left(\sum_{i=1}^{n-1} a_i\right) + a_n \right) = 2(S_{n-1} + a_n)$.
Из $a_n = 2S_{n-1}$ следует, что $S_{n-1} = \frac{a_n}{2}$. Подставим это в выражение для $a_{n+1}$:
$a_{n+1} = 2\left(\frac{a_n}{2} + a_n\right) = 2\left(\frac{3}{2} a_n\right) = 3 a_n$.
Это рекуррентное соотношение показывает, что начиная со второго члена, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=3$.

Таким образом, мы можем записать общую формулу для $a_n$:
$a_1 = 1$
$a_n = a_2 \cdot 3^{n-2} = 2 \cdot 3^{n-2}$ для $n \ge 2$.

Теперь найдем произведение $P$ всех чисел от $a_1$ до $a_{2001}$:
$P = \prod_{n=1}^{2001} a_n = a_1 \cdot \prod_{n=2}^{2001} a_n = 1 \cdot \prod_{n=2}^{2001} (2 \cdot 3^{n-2})$.
Произведение от $n=2$ до $n=2001$ содержит $2001 - 2 + 1 = 2000$ членов.
$P = \left(\prod_{n=2}^{2001} 2\right) \cdot \left(\prod_{n=2}^{2001} 3^{n-2}\right) = 2^{2000} \cdot 3^{(2-2) + (3-2) + \dots + (2001-2)}$.
$P = 2^{2000} \cdot 3^{0 + 1 + 2 + \dots + 1999}$.

Сумма в показателе степени у тройки является суммой членов арифметической прогрессии от 0 до 1999.
$S = \frac{(0 + 1999) \cdot 2000}{2} = 1999 \cdot 1000 = 1999000$.
Подставляя найденную сумму, получаем окончательный результат:
$P = 2^{2000} \cdot 3^{1999000}$.

Ответ: $2^{2000} \cdot 3^{1999000}$.

б)

Данная задача решается аналогично предыдущей. Условия для последовательности:
$a_1 = 1$
$a_n = 3 \sum_{i=1}^{n-1} a_i$ для $n \ge 2$.

Найдем первые несколько членов:
$a_1 = 1$
$a_2 = 3 a_1 = 3 \cdot 1 = 3$
$a_3 = 3(a_1 + a_2) = 3(1 + 3) = 12$
$a_4 = 3(a_1 + a_2 + a_3) = 3(1 + 3 + 12) = 48$

Можно заметить, что $a_3 = 4 \cdot a_2$ и $a_4 = 4 \cdot a_3$. Докажем, что для всех $n \ge 2$ выполняется соотношение $a_{n+1} = 4a_n$.
Пусть $S_{n-1} = \sum_{i=1}^{n-1} a_i$. Тогда по определению $a_n = 3S_{n-1}$, откуда $S_{n-1} = \frac{a_n}{3}$.
Рассмотрим $a_{n+1}$:
$a_{n+1} = 3 \sum_{i=1}^{n} a_i = 3(S_{n-1} + a_n)$.
Подставим выражение для $S_{n-1}$:
$a_{n+1} = 3\left(\frac{a_n}{3} + a_n\right) = 3\left(\frac{4}{3} a_n\right) = 4 a_n$.
Следовательно, начиная со второго члена, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=4$.

Общая формула для $a_n$:
$a_1 = 1$
$a_n = a_2 \cdot 4^{n-2} = 3 \cdot 4^{n-2}$ для $n \ge 2$.

Найдем произведение $P$ всех чисел от $a_1$ до $a_{2001}$:
$P = \prod_{n=1}^{2001} a_n = a_1 \cdot \prod_{n=2}^{2001} a_n = 1 \cdot \prod_{n=2}^{2001} (3 \cdot 4^{n-2})$.
В произведении $2000$ членов.
$P = \left(\prod_{n=2}^{2001} 3\right) \cdot \left(\prod_{n=2}^{2001} 4^{n-2}\right) = 3^{2000} \cdot 4^{0 + 1 + 2 + \dots + 1999}$.

Сумма в показателе степени у четверки, как и в пункте а), равна $1999000$.
$P = 3^{2000} \cdot 4^{1999000}$.
Это выражение можно упростить, представив $4$ как $2^2$:
$P = 3^{2000} \cdot (2^2)^{1999000} = 3^{2000} \cdot 2^{2 \cdot 1999000} = 3^{2000} \cdot 2^{3998000}$.

Ответ: $3^{2000} \cdot 2^{3998000}$.

Постройте график функции (37–46);

37 а) $y = |1 - 2x| + |2x + 3|$;

б) $y = |2x - 3| + |1 - x|$.

а) $y = |1 - 2x| + |2x + 3|$

Для построения графика функции, содержащей модули, необходимо раскрыть модули. Метод интервалов заключается в том, чтобы найти точки, в которых выражения под знаком модуля равны нулю, и рассмотреть поведение функции на каждом из полученных интервалов.

Найдем нули подмодульных выражений:

1) $1 - 2x = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = 0.5$

2) $2x + 3 = 0 \Rightarrow 2x = -3 \Rightarrow x = -1.5$

Эти точки $(-1.5$ и $0.5)$ разбивают числовую прямую на три интервала. Раскроем модули на каждом из них.

1. При $x < -1.5$:

Оба выражения $1 - 2x$ и $-(2x + 3)$ положительны. Например, при $x=-2$: $1-2(-2)=5>0$ и $2(-2)+3=-1<0$.

Значит, $|1 - 2x| = 1 - 2x$ и $|2x + 3| = -(2x + 3) = -2x - 3$.

Функция принимает вид: $y = (1 - 2x) + (-2x - 3) = 1 - 2x - 2x - 3 = -4x - 2$.

2. При $-1.5 \le x < 0.5$:

Выражение $1 - 2x$ положительно, и выражение $2x + 3$ также положительно. Например, при $x=0$: $1-2(0)=1>0$ и $2(0)+3=3>0$.

Значит, $|1 - 2x| = 1 - 2x$ и $|2x + 3| = 2x + 3$.

Функция принимает вид: $y = (1 - 2x) + (2x + 3) = 1 - 2x + 2x + 3 = 4$.

3. При $x \ge 0.5$:

Выражение $1 - 2x$ отрицательно, а $2x + 3$ положительно. Например, при $x=1$: $1-2(1)=-1<0$ и $2(1)+3=5>0$.

Значит, $|1 - 2x| = -(1 - 2x) = 2x - 1$ и $|2x + 3| = 2x + 3$.

Функция принимает вид: $y = (2x - 1) + (2x + 3) = 2x - 1 + 2x + 3 = 4x + 2$.

Таким образом, функция является кусочно-линейной:

$y = \begin{cases} -4x - 2, & \text{если } x < -1.5 \\ 4, & \text{если } -1.5 \le x < 0.5 \\ 4x + 2, & \text{если } x \ge 0.5 \end{cases}$

Построение графика:

1. На интервале $(-\infty, -1.5)$ строим луч $y = -4x - 2$. Он начинается в точке $(-1.5, 4)$, так как $y(-1.5) = -4(-1.5) - 2 = 6 - 2 = 4$. Возьмем контрольную точку $x=-2$, $y(-2) = -4(-2)-2=6$.
2. На отрезке $[-1.5, 0.5]$ строим отрезок горизонтальной прямой $y = 4$. Он соединяет точки $(-1.5, 4)$ и $(0.5, 4)$.
3. На интервале $[0.5, +\infty)$ строим луч $y = 4x + 2$. Он начинается в точке $(0.5, 4)$, так как $y(0.5) = 4(0.5)+2=4$. Возьмем контрольную точку $x=1$, $y(1) = 4(1)+2=6$.

Ответ: График функции состоит из трех частей: луча $y = -4x - 2$ для $x < -1.5$, горизонтального отрезка $y=4$ на промежутке $[-1.5, 0.5]$ и луча $y = 4x + 2$ для $x \ge 0.5$. Точки излома: $(-1.5, 4)$ и $(0.5, 4)$.

б) $y = |2x - 3| + |1 - x|$

Аналогично предыдущему пункту, найдем нули подмодульных выражений.

1) $2x - 3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = 1.5$

2) $1 - x = 0 \Rightarrow x = 1$

Точки $x=1$ и $x=1.5$ разбивают числовую ось на три интервала. Раскроем модули на каждом из них.

1. При $x < 1$:

Выражение $2x - 3$ отрицательно, а $1 - x$ положительно. Например, при $x=0$: $2(0)-3=-3<0$ и $1-0=1>0$.

Значит, $|2x - 3| = -(2x - 3) = -2x + 3$ и $|1 - x| = 1 - x$.

Функция принимает вид: $y = (-2x + 3) + (1 - x) = -3x + 4$.

2. При $1 \le x < 1.5$:

Оба выражения, $2x - 3$ и $1 - x$, отрицательны. Например, при $x=1.2$: $2(1.2)-3 = -0.6 < 0$ и $1-1.2=-0.2<0$.

Значит, $|2x - 3| = -(2x - 3) = -2x + 3$ и $|1 - x| = -(1 - x) = x - 1$.

Функция принимает вид: $y = (-2x + 3) + (x - 1) = -x + 2$.

3. При $x \ge 1.5$:

Выражение $2x - 3$ положительно, а $1 - x$ отрицательно. Например, при $x=2$: $2(2)-3=1>0$ и $1-2=-1<0$.

Значит, $|2x - 3| = 2x - 3$ и $|1 - x| = -(1 - x) = x - 1$.

Функция принимает вид: $y = (2x - 3) + (x - 1) = 3x - 4$.

Таким образом, мы получили кусочно-линейную функцию:

$y = \begin{cases} -3x + 4, & \text{если } x < 1 \\ -x + 2, & \text{если } 1 \le x < 1.5 \\ 3x - 4, & \text{если } x \ge 1.5 \end{cases}$

Построение графика:

1. На интервале $(-\infty, 1)$ строим луч $y = -3x + 4$. Он начинается в точке $(1, 1)$, так как $y(1) = -3(1)+4=1$. Возьмем контрольную точку $x=0$, $y(0) = 4$.
2. На отрезке $[1, 1.5]$ строим отрезок прямой $y = -x + 2$. Он соединяет точку $(1, 1)$ с точкой $(1.5, 0.5)$, так как $y(1.5) = -1.5+2=0.5$.
3. На интервале $[1.5, +\infty)$ строим луч $y = 3x - 4$. Он начинается в точке $(1.5, 0.5)$. Возьмем контрольную точку $x=2$, $y(2) = 3(2)-4=2$.

Ответ: График функции состоит из трех частей: луча $y = -3x + 4$ для $x < 1$, отрезка прямой $y = -x + 2$ на промежутке $[1, 1.5]$ и луча $y = 3x - 4$ для $x \ge 1.5$. Точки излома графика: $(1, 1)$ и $(1.5, 0.5)$.

38 a) $y=2-x-|x-2|+2|x|;$

B) $y=5+2x-|x-2|-|x+1|;$

б) $y=2+x-3|2-x|+2|x|;$

г) $y=|x+2|-2|x-1|-x.$

а) $y = 2 - x - |x - 2| + 2|x|$
Для решения раскроем модули. Нули подмодульных выражений: $x=0$ и $x-2=0 \implies x=2$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала.
1. При $x < 0$:
$|x| = -x$ и $|x-2| = -(x-2) = 2-x$.
$y = 2 - x - (2-x) + 2(-x) = 2 - x - 2 + x - 2x = -2x$.
2. При $0 \le x < 2$:
$|x| = x$ и $|x-2| = -(x-2) = 2-x$.
$y = 2 - x - (2-x) + 2x = 2 - x - 2 + x + 2x = 2x$.
3. При $x \ge 2$:
$|x| = x$ и $|x-2| = x-2$.
$y = 2 - x - (x-2) + 2x = 2 - x - x + 2 + 2x = 4$.
Объединяя все случаи, получаем:
Ответ: $y = \begin{cases} -2x, & \text{если } x < 0 \\ 2x, & \text{если } 0 \le x < 2 \\ 4, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

б) $y = 2 + x - 3|2 - x| + 2|x|$
Учитывая, что $|2-x| = |x-2|$, преобразуем уравнение: $y = 2 + x - 3|x - 2| + 2|x|$.
Нули подмодульных выражений: $x=0$ и $x=2$. Рассматриваем те же три интервала.
1. При $x < 0$:
$|x| = -x$ и $|x-2| = -(x-2) = 2-x$.
$y = 2 + x - 3(2-x) + 2(-x) = 2 + x - 6 + 3x - 2x = 2x - 4$.
2. При $0 \le x < 2$:
$|x| = x$ и $|x-2| = -(x-2) = 2-x$.
$y = 2 + x - 3(2-x) + 2x = 2 + x - 6 + 3x + 2x = 6x - 4$.
3. При $x \ge 2$:
$|x| = x$ и $|x-2| = x-2$.
$y = 2 + x - 3(x-2) + 2x = 2 + x - 3x + 6 + 2x = 8$.
Объединяя все случаи, получаем:
Ответ: $y = \begin{cases} 2x - 4, & \text{если } x < 0 \\ 6x - 4, & \text{если } 0 \le x < 2 \\ 8, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

в) $y = 5 + 2x - |x - 2| - |x + 1|$
Нули подмодульных выражений: $x-2=0 \implies x=2$ и $x+1=0 \implies x=-1$. Точки разбивают числовую прямую на три интервала.
1. При $x < -1$:
$|x-2| = -(x-2) = 2-x$ и $|x+1| = -(x+1) = -x-1$.
$y = 5 + 2x - (2-x) - (-x-1) = 5 + 2x - 2 + x + x + 1 = 4x + 4$.
2. При $-1 \le x < 2$:
$|x-2| = -(x-2) = 2-x$ и $|x+1| = x+1$.
$y = 5 + 2x - (2-x) - (x+1) = 5 + 2x - 2 + x - x - 1 = 2x + 2$.
3. При $x \ge 2$:
$|x-2| = x-2$ и $|x+1| = x+1$.
$y = 5 + 2x - (x-2) - (x+1) = 5 + 2x - x + 2 - x - 1 = 6$.
Объединяя все случаи, получаем:
Ответ: $y = \begin{cases} 4x + 4, & \text{если } x < -1 \\ 2x + 2, & \text{если } -1 \le x < 2 \\ 6, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

г) $y = |x + 2| - 2|x - 1| - x$
Нули подмодульных выражений: $x+2=0 \implies x=-2$ и $x-1=0 \implies x=1$. Точки разбивают числовую прямую на три интервала.
1. При $x < -2$:
$|x+2| = -(x+2) = -x-2$ и $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.
$y = (-x-2) - 2(1-x) - x = -x - 2 - 2 + 2x - x = -4$.
2. При $-2 \le x < 1$:
$|x+2| = x+2$ и $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.
$y = (x+2) - 2(1-x) - x = x + 2 - 2 + 2x - x = 2x$.
3. При $x \ge 1$:
$|x+2| = x+2$ и $|x-1| = x-1$.
$y = (x+2) - 2(x-1) - x = x + 2 - 2x + 2 - x = -2x + 4$.
Объединяя все случаи, получаем:
Ответ: $y = \begin{cases} -4, & \text{если } x < -2 \\ 2x, & \text{если } -2 \le x < 1 \\ -2x + 4, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

39 а) $y = \sqrt{(x-3)^2} + \sqrt{(5-x)^2}$;

б) $y = \sqrt{(x-1)^2} + \sqrt{(3-x)^2}$.

a) $y = \sqrt{(x-3)^2} + \sqrt{(5-x)^2}$

Для упрощения данного выражения воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня, которое гласит, что $\sqrt{a^2} = |a|$ (модуль числа $a$). Применим это свойство к каждому слагаемому в уравнении:

$y = |x-3| + |5-x|$

Для раскрытия модулей необходимо рассмотреть числовые промежутки, на которые координатную ось делят точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль.
$x-3 = 0 \implies x=3$
$5-x = 0 \implies x=5$

Таким образом, мы имеем три промежутка для рассмотрения: $x < 3$, $3 \le x \le 5$ и $x > 5$.

1. Рассмотрим промежуток $x < 3$.
На этом интервале выражение $x-3$ отрицательно, следовательно, $|x-3| = -(x-3) = -x+3$.
Выражение $5-x$ положительно, следовательно, $|5-x| = 5-x$.
Подставляем в функцию:
$y = (-x+3) + (5-x) = -2x+8$.

2. Рассмотрим промежуток $3 \le x \le 5$.
На этом интервале выражение $x-3$ неотрицательно, следовательно, $|x-3| = x-3$.
Выражение $5-x$ также неотрицательно, следовательно, $|5-x| = 5-x$.
Подставляем в функцию:
$y = (x-3) + (5-x) = x-3+5-x = 2$.

3. Рассмотрим промежуток $x > 5$.
На этом интервале выражение $x-3$ положительно, следовательно, $|x-3| = x-3$.
Выражение $5-x$ отрицательно, следовательно, $|5-x| = -(5-x) = x-5$.
Подставляем в функцию:
$y = (x-3) + (x-5) = 2x-8$.

Объединяя все три случая, мы получаем кусочно-заданную функцию.
Ответ: $y = \begin{cases} -2x + 8, & \text{если } x < 3 \\ 2, & \text{если } 3 \le x \le 5 \\ 2x - 8, & \text{если } x > 5 \end{cases}$

б) $y = \sqrt{(x-1)^2} + \sqrt{(3-x)^2}$

Аналогично предыдущему пункту, используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:

$y = |x-1| + |3-x|$

Найдем нули подмодульных выражений, чтобы определить интервалы для рассмотрения.
$x-1 = 0 \implies x=1$
$3-x = 0 \implies x=3$

Рассматриваем три промежутка: $x < 1$, $1 \le x \le 3$ и $x > 3$.

1. Рассмотрим промежуток $x < 1$.
На этом интервале $x-1 < 0$, поэтому $|x-1| = -(x-1) = -x+1$.
Выражение $3-x > 0$, поэтому $|3-x| = 3-x$.
Функция примет вид:
$y = (-x+1) + (3-x) = -2x+4$.

2. Рассмотрим промежуток $1 \le x \le 3$.
На этом интервале $x-1 \ge 0$, поэтому $|x-1| = x-1$.
Выражение $3-x \ge 0$, поэтому $|3-x| = 3-x$.
Функция примет вид:
$y = (x-1) + (3-x) = x-1+3-x = 2$.

3. Рассмотрим промежуток $x > 3$.
На этом интервале $x-1 > 0$, поэтому $|x-1| = x-1$.
Выражение $3-x < 0$, поэтому $|3-x| = -(3-x) = x-3$.
Функция примет вид:
$y = (x-1) + (x-3) = 2x-4$.

Объединяя результаты, получаем итоговое выражение для функции.
Ответ: $y = \begin{cases} -2x + 4, & \text{если } x < 1 \\ 2, & \text{если } 1 \le x \le 3 \\ 2x - 4, & \text{если } x > 3 \end{cases}$

40 $y = \sqrt{(x+2)^2} + \sqrt{(x-2)^2}$

Дана функция $y = \sqrt{(x + 2)^2} + \sqrt{(x - 2)^2}$.

Для упрощения этого выражения воспользуемся тождеством $\sqrt{a^2} = |a|$, где $|a|$ — это модуль числа $a$. Применим это свойство к каждому слагаемому в правой части уравнения:

$y = |x + 2| + |x - 2|$.

Теперь необходимо раскрыть модули. Поведение функции зависит от знаков выражений, стоящих под знаком модуля. Найдем точки, в которых эти выражения обращаются в ноль, так как в этих точках их знак может меняться.

$x + 2 = 0 \implies x = -2$
$x - 2 = 0 \implies x = 2$

Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка: $(-\infty; -2)$, $[-2; 2)$ и $[2; +\infty)$. Рассмотрим функцию на каждом из этих промежутков.

1. При $x < -2$
На этом промежутке оба подмодульных выражения отрицательны:
$x + 2 < 0$
$x - 2 < 0$
Согласно определению модуля ($|a| = -a$ при $a<0$), раскрываем оба модуля с изменением знака:
$y = -(x + 2) - (x - 2) = -x - 2 - x + 2 = -2x$.

2. При $-2 \le x < 2$
На этом промежутке первое подмодульное выражение неотрицательно, а второе — отрицательно:
$x + 2 \ge 0$
$x - 2 < 0$
Раскрываем модули в соответствии с их знаками:
$y = (x + 2) - (x - 2) = x + 2 - x + 2 = 4$.

3. При $x \ge 2$
На этом промежутке оба подмодульных выражения неотрицательны:
$x + 2 > 0$
$x - 2 \ge 0$
Согласно определению модуля ($|a| = a$ при $a \ge 0$), раскрываем оба модуля без изменения знака:
$y = (x + 2) + (x - 2) = x + 2 + x - 2 = 2x$.

Объединяя полученные результаты, мы можем представить исходную функцию в виде кусочно-заданной функции.

Ответ: $y = \begin{cases} -2x, & \text{если } x < -2 \\ 4, & \text{если } -2 \le x < 2 \\ 2x, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

41 a) $y = \sin x + |\sin x|$

б) $y = -\cos x |\cos x|$

а) $y = \sin x + |\sin x|$

Для решения этой задачи необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения под модулем, то есть $\sin x$. По определению абсолютной величины: $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$.

1. Рассмотрим случай, когда $\sin x \ge 0$.

Это неравенство выполняется для всех $x$, принадлежащих отрезкам $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целое число).

В этом случае $|\sin x| = \sin x$. Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = \sin x + \sin x = 2\sin x$.

2. Рассмотрим случай, когда $\sin x < 0$.

Это неравенство выполняется для всех $x$, принадлежащих интервалам $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $|\sin x| = -\sin x$. Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = \sin x + (-\sin x) = \sin x - \sin x = 0$.

Таким образом, исходную функцию можно представить в виде кусочно-заданной функции:

$y = \begin{cases} 2\sin x, & \text{если } \sin x \ge 0 \\ 0, & \text{если } \sin x < 0 \end{cases}$

Более подробно, указывая промежутки для переменной $x$:

Ответ: $y = \begin{cases} 2\sin x, & \text{если } x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z} \\ 0, & \text{если } x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi(k+1)), k \in \mathbb{Z} \end{cases}$.

б) $y = -\cos x |\cos x|$

Аналогично предыдущему пункту, раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $\cos x$.

1. Рассмотрим случай, когда $\cos x \ge 0$.

Это неравенство выполняется для всех $x$, принадлежащих отрезкам $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $|\cos x| = \cos x$. Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = -\cos x \cdot (\cos x) = -\cos^2 x$.

2. Рассмотрим случай, когда $\cos x < 0$.

Это неравенство выполняется для всех $x$, принадлежащих интервалам $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $|\cos x| = -\cos x$. Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = -\cos x \cdot (-\cos x) = \cos^2 x$.

Таким образом, исходную функцию можно представить в виде кусочно-заданной функции:

$y = \begin{cases} -\cos^2 x, & \text{если } \cos x \ge 0 \\ \cos^2 x, & \text{если } \cos x < 0 \end{cases}$

Более подробно, указывая промежутки для переменной $x$:

Ответ: $y = \begin{cases} -\cos^2 x, & \text{если } x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z} \\ \cos^2 x, & \text{если } x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} \end{cases}$.

42 a) $y = \sin x - \sqrt{\sin^2 x}$

б) $y = \cos x - \sqrt{\cos^2 x}$

а) Рассмотрим функцию $y = \sin x - \sqrt{\sin^2x}$.

Для упрощения выражения воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$. Применив это свойство к нашей функции, получаем:

$\sqrt{\sin^2x} = |\sin x|$.

Таким образом, исходная функция преобразуется к виду:

$y = \sin x - |\sin x|$.

Теперь необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $\sin x$.

Случай 1: $\sin x \ge 0$. Это условие выполняется для всех $x$, принадлежащих отрезкам вида $[2\pi n, \pi + 2\pi n]$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$). В этом случае, по определению модуля, $|\sin x| = \sin x$. Подставим это в нашу функцию:

$y = \sin x - \sin x = 0$.

Случай 2: $\sin x < 0$. Это условие выполняется для всех $x$, принадлежащих интервалам вида $(\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этом случае $|\sin x| = -\sin x$. Подставим это в функцию:

$y = \sin x - (-\sin x) = \sin x + \sin x = 2\sin x$.

Объединив результаты, получаем, что функция является кусочно-заданной.

Ответ: $y = \begin{cases} 0, & \text{если } \sin x \ge 0 \\ 2\sin x, & \text{если } \sin x < 0 \end{cases}$.

б) Рассмотрим функцию $y = \cos x - \sqrt{\cos^2x}$.

Аналогично предыдущему пункту, используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$. Тогда выражение $\sqrt{\cos^2x}$ равно $|\cos x|$.

Следовательно, исходная функция может быть записана как:

$y = \cos x - |\cos x|$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $\cos x$.

Случай 1: $\cos x \ge 0$. Это условие выполняется для $x$, принадлежащих отрезкам вида $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этом случае $|\cos x| = \cos x$, и функция упрощается до:

$y = \cos x - \cos x = 0$.

Случай 2: $\cos x < 0$. Это условие выполняется для $x$, принадлежащих интервалам вида $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этом случае $|\cos x| = -\cos x$, и функция становится:

$y = \cos x - (-\cos x) = \cos x + \cos x = 2\cos x$.

Таким образом, функция является кусочно-заданной.

Ответ: $y = \begin{cases} 0, & \text{если } \cos x \ge 0 \\ 2\cos x, & \text{если } \cos x < 0 \end{cases}$.

43 $y = \sin x |\sin x| - \cos x |\cos x|.$

Для упрощения данного выражения $y = \sin x |\sin x| - \cos x |\cos x|$, необходимо рассмотреть его на разных интервалах, в зависимости от знаков $\sin x$ и $\cos x$. Это связано с определением модуля числа: $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$. Знаки тригонометрических функций синуса и косинуса зависят от координатной четверти, в которой находится угол $x$. Рассмотрим четыре случая.

Случай 1: Первая координатная четверть

Для углов $x$ из первой четверти, то есть $x \in [2\pi k, 2\pi k + \frac{\pi}{2}]$, где $k$ — любое целое число, мы имеем $\sin x \ge 0$ и $\cos x \ge 0$.

Поэтому $|\sin x| = \sin x$ и $|\cos x| = \cos x$.

Подставляя это в исходную формулу, получаем:

$y = \sin x \cdot (\sin x) - \cos x \cdot (\cos x) = \sin^2 x - \cos^2 x$

Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$, находим:

$y = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos(2x)$

Случай 2: Вторая координатная четверть

Для углов $x$ из второй четверти, $x \in [2\pi k + \frac{\pi}{2}, 2\pi k + \pi]$, мы имеем $\sin x \ge 0$ и $\cos x \le 0$.

Поэтому $|\sin x| = \sin x$ и $|\cos x| = -\cos x$.

Подставляем в формулу:

$y = \sin x \cdot (\sin x) - \cos x \cdot (-\cos x) = \sin^2 x + \cos^2 x$

Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:

$y = 1$

Случай 3: Третья координатная четверть

Для углов $x$ из третьей четверти, $x \in [2\pi k + \pi, 2\pi k + \frac{3\pi}{2}]$, мы имеем $\sin x \le 0$ и $\cos x \le 0$.

Поэтому $|\sin x| = -\sin x$ и $|\cos x| = -\cos x$.

Подставляем в формулу:

$y = \sin x \cdot (-\sin x) - \cos x \cdot (-\cos x) = -\sin^2 x + \cos^2 x$

Используя формулу косинуса двойного угла, находим:

$y = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)$

Случай 4: Четвертая координатная четверть

Для углов $x$ из четвертой четверти, $x \in [2\pi k + \frac{3\pi}{2}, 2\pi k + 2\pi]$, мы имеем $\sin x \le 0$ и $\cos x \ge 0$.

Поэтому $|\sin x| = -\sin x$ и $|\cos x| = \cos x$.

Подставляем в формулу:

$y = \sin x \cdot (-\sin x) - \cos x \cdot (\cos x) = -\sin^2 x - \cos^2 x$

Вынося общий множитель и применяя основное тригонометрическое тождество, получаем:

$y = -(\sin^2 x + \cos^2 x) = -1$

Таким образом, исходная функция является кусочно-заданной. Можно записать ее итоговый вид.

Ответ:

Функция $y = \sin x |\sin x| - \cos x |\cos x|$ эквивалентна следующей кусочно-заданной функции:

$y = \begin{cases} -\cos(2x), & \text{если } \sin x \ge 0 \text{ и } \cos x \ge 0 \text{ (I четверть)} \\ 1, & \text{если } \sin x \ge 0 \text{ и } \cos x \le 0 \text{ (II четверть)} \\ \cos(2x), & \text{если } \sin x \le 0 \text{ и } \cos x \le 0 \text{ (III четверть)} \\ -1, & \text{если } \sin x \le 0 \text{ и } \cos x \ge 0 \text{ (IV четверть)} \end{cases}$

Это можно также представить в виде зависимости от интервалов аргумента $x$, учитывая периодичность $2\pi$ (где $k \in \mathbb{Z}$):

$y = \begin{cases} -\cos(2x), & \text{если } x \in [2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k] \\ 1, & \text{если } x \in [\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pi + 2\pi k] \\ \cos(2x), & \text{если } x \in [\pi + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k] \\ -1, & \text{если } x \in [\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k] \end{cases}$

44. $y = \cos x \sqrt{\cos^2 x} - \sin x \sqrt{\sin^2 x}$.

Для решения данной задачи необходимо упростить исходное выражение $y = \cos x \sqrt{\cos^2 x} - \sin x \sqrt{\sin^2 x}$.

Первый шаг — это раскрытие корней. Используем свойство квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$. Применив это свойство к нашему выражению, получаем:

$\sqrt{\cos^2 x} = |\cos x|$

$\sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$

Таким образом, исходная формула преобразуется к виду:

$y = \cos x \cdot |\cos x| - \sin x \cdot |\sin x|$

Дальнейшее упрощение зависит от знаков тригонометрических функций $\cos x$ и $\sin x$, которые определяются координатной четвертью, в которой находится угол $x$. Поэтому рассмотрим четыре случая, где $n \in \mathbb{Z}$ — любое целое число.

Случай 1: $x$ находится в I четверти

Для углов $x \in [2\pi n, 2\pi n + \frac{\pi}{2}]$ выполняются неравенства $\cos x \ge 0$ и $\sin x \ge 0$. Следовательно, $|\cos x| = \cos x$ и $|\sin x| = \sin x$. Выражение для $y$ принимает вид:

$y = \cos x \cdot (\cos x) - \sin x \cdot (\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x$

Применяя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$, получаем:

$y = \cos(2x)$

Случай 2: $x$ находится во II четверти

Для углов $x \in (2\pi n + \frac{\pi}{2}, 2\pi n + \pi]$ выполняются неравенства $\cos x \le 0$ и $\sin x \ge 0$. Следовательно, $|\cos x| = -\cos x$ и $|\sin x| = \sin x$. Выражение для $y$ принимает вид:

$y = \cos x \cdot (-\cos x) - \sin x \cdot (\sin x) = -\cos^2 x - \sin^2 x$

Вынося минус за скобки и используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$, получаем:

$y = -(\cos^2 x + \sin^2 x) = -1$

Случай 3: $x$ находится в III четверти

Для углов $x \in (2\pi n + \pi, 2\pi n + \frac{3\pi}{2}]$ выполняются неравенства $\cos x \le 0$ и $\sin x \le 0$. Следовательно, $|\cos x| = -\cos x$ и $|\sin x| = -\sin x$. Выражение для $y$ принимает вид:

$y = \cos x \cdot (-\cos x) - \sin x \cdot (-\sin x) = -\cos^2 x + \sin^2 x$

Перегруппировав слагаемые и применив формулу косинуса двойного угла, получаем:

$y = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos(2x)$

Случай 4: $x$ находится в IV четверти

Для углов $x \in (2\pi n + \frac{3\pi}{2}, 2\pi + 2\pi n)$ выполняются неравенства $\cos x \ge 0$ и $\sin x \le 0$. Следовательно, $|\cos x| = \cos x$ и $|\sin x| = -\sin x$. Выражение для $y$ принимает вид:

$y = \cos x \cdot (\cos x) - \sin x \cdot (-\sin x) = \cos^2 x + \sin^2 x$

Используя основное тригонометрическое тождество, получаем:

$y = 1$

Объединив все четыре случая, мы получаем окончательное выражение для функции $y$.

Ответ: Итоговое выражение для $y$ является кусочно-заданной функцией:

$y = \begin{cases} \cos(2x), & \text{если } x \in [2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n] \\ -1, & \text{если } x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \pi + 2\pi n] \\ -\cos(2x), & \text{если } x \in (\pi + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n] \\ 1, & \text{если } x \in (\frac{3\pi}{2} + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n) \end{cases}, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$.