Страница 410 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Вычислите (1—3):

1 а) $\frac{3 + 4,2 : 0,1}{\left(1 : 0,3 - 2\frac{1}{3}\right) \cdot 0,3125}$

б) $\frac{0,134 + 0,05}{18\frac{1}{6} - 1\frac{11}{14} - 2\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{15}}$

в) $417 \cdot \left(\frac{2}{10} + \frac{13}{990}\right) : \left(\frac{4}{10} + \frac{21}{990}\right)$

г) $78 \cdot \frac{\left(4\frac{3}{5} - 1\frac{3}{14}\right) \cdot 5\frac{5}{6}}{(11 - 1,25) : 2,5}$

а)Исходное выражение: $ \frac{3 + 4,2 : 0,1}{(1:0,3 - 2\frac{1}{3}) \cdot 0,3125} $
1. Сначала вычислим значение числителя. Деление имеет приоритет перед сложением:
$ 4,2 : 0,1 = 42 $
$ 3 + 42 = 45 $
Таким образом, числитель равен 45.
2. Теперь вычислим значение знаменателя. Сначала выполним действие в скобках. Для этого преобразуем десятичную дробь и смешанное число в обыкновенные дроби:
$ 1:0,3 = 1:\frac{3}{10} = \frac{10}{3} $
$ 2\frac{1}{3} = \frac{7}{3} $
$ \frac{10}{3} - \frac{7}{3} = \frac{3}{3} = 1 $
3. Результат в скобках умножим на $0,3125$. Переведем $0,3125$ в обыкновенную дробь: $0,3125 = \frac{3125}{10000} = \frac{5}{16}$.
$ 1 \cdot \frac{5}{16} = \frac{5}{16} $
Таким образом, знаменатель равен $ \frac{5}{16} $.
4. Разделим числитель на знаменатель:
$ 45 : \frac{5}{16} = 45 \cdot \frac{16}{5} = \frac{45 \cdot 16}{5} = 9 \cdot 16 = 144 $
Ответ: 144

б)Исходное выражение: $ \frac{0,134 + 0,05}{18\frac{1}{6} - 1\frac{11}{14} - 2\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{15}} $
1. Вычислим значение числителя:
$ 0,134 + 0,05 = 0,184 $
2. Вычислим значение знаменателя. Первым действием выполним умножение, предварительно переведя смешанное число в неправильную дробь:
$ 2\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{15} = \frac{20}{7} \cdot \frac{2}{15} = \frac{20 \cdot 2}{7 \cdot 15} = \frac{4 \cdot 2}{7 \cdot 3} = \frac{8}{21} $
3. Теперь выполним вычитание в знаменателе: $ 18\frac{1}{6} - 1\frac{11}{14} - \frac{8}{21} $. Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{1}{6}, \frac{11}{14}, \frac{8}{21}$. Наименьшее общее кратное для 6, 14 и 21 равно 42.
$ 18\frac{1 \cdot 7}{42} - 1\frac{11 \cdot 3}{42} - \frac{8 \cdot 2}{42} = 18\frac{7}{42} - 1\frac{33}{42} - \frac{16}{42} $
Выполним вычитание по частям:
$ 18\frac{7}{42} - 1\frac{33}{42} = 17\frac{42+7}{42} - 1\frac{33}{42} = 16\frac{49-33}{42} = 16\frac{16}{42} $
$ 16\frac{16}{42} - \frac{16}{42} = 16 $
Таким образом, знаменатель равен 16.
4. Разделим числитель на знаменатель:
$ \frac{0,184}{16} = 0,0115 $
Ответ: 0,0115

в)Исходное выражение: $ 417 \cdot \left(\frac{2}{10} + \frac{13}{990}\right) : \left(\frac{4}{10} + \frac{21}{990}\right) $
1. Вычислим значение выражения в первой скобке. Приведем дроби к общему знаменателю 990.
$ \frac{2}{10} + \frac{13}{990} = \frac{2 \cdot 99}{990} + \frac{13}{990} = \frac{198 + 13}{990} = \frac{211}{990} $
2. Вычислим значение выражения во второй скобке.
$ \frac{4}{10} + \frac{21}{990} = \frac{4 \cdot 99}{990} + \frac{21}{990} = \frac{396 + 21}{990} = \frac{417}{990} $
3. Подставим полученные значения в исходное выражение:
$ 417 \cdot \frac{211}{990} : \frac{417}{990} $
4. Заменим деление умножением на обратную дробь и выполним сокращение:
$ 417 \cdot \frac{211}{990} \cdot \frac{990}{417} = \frac{417 \cdot 211 \cdot 990}{990 \cdot 417} = 211 $
Ответ: 211

г)Исходное выражение: $ 78 \cdot \frac{\left(4\frac{3}{5} - 1\frac{3}{14}\right) \cdot 5\frac{5}{6}}{(11-1,25):2,5} $
1. Вычислим числитель большой дроби. Сначала выполним вычитание в скобках. Общий знаменатель для 5 и 14 равен 70.
$ 4\frac{3}{5} - 1\frac{3}{14} = 4\frac{42}{70} - 1\frac{15}{70} = 3\frac{27}{70} $
2. Теперь умножим результат на $5\frac{5}{6}$. Переведем смешанные числа в неправильные дроби.
$ 3\frac{27}{70} \cdot 5\frac{5}{6} = \frac{237}{70} \cdot \frac{35}{6} = \frac{237 \cdot 35}{70 \cdot 6} = \frac{237 \cdot 1}{2 \cdot 6} = \frac{237}{12} $
Сократим дробь на 3: $ \frac{237:3}{12:3} = \frac{79}{4} $
Числитель большой дроби равен $ \frac{79}{4} $.
3. Вычислим знаменатель большой дроби:
$ (11 - 1,25) : 2,5 = 9,75 : 2,5 = 3,9 $
4. Подставим полученные значения в исходное выражение:
$ 78 \cdot \frac{\frac{79}{4}}{3,9} $
Переведем десятичную дробь $3,9$ в обыкновенную: $3,9 = \frac{39}{10}$.
$ 78 \cdot \frac{\frac{79}{4}}{\frac{39}{10}} = 78 \cdot \left(\frac{79}{4} \cdot \frac{10}{39}\right) = 78 \cdot \frac{79 \cdot 10}{4 \cdot 39} = 78 \cdot \frac{79 \cdot 5}{2 \cdot 39} $
Заметим, что $78 = 2 \cdot 39$. Подставим и сократим:
$ (2 \cdot 39) \cdot \frac{79 \cdot 5}{2 \cdot 39} = 79 \cdot 5 = 395 $
Ответ: 395

$2 \left( 13\frac{1}{4} - 2\frac{5}{27} - 10\frac{5}{6} \right) \cdot 230\frac{1}{25} - 41\frac{1}{4} + 2001 : 3.$

Решим данный пример по действиям, соблюдая их правильный порядок: сначала действия в скобках, затем умножение и деление (слева направо), и в конце сложение и вычитание (слева направо).

1. Выполним действие в скобках: $13\frac{1}{4} - 2\frac{5}{27} - 10\frac{5}{6}$

Сначала преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби:
$13\frac{1}{4} = \frac{13 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{53}{4}$
$2\frac{5}{27} = \frac{2 \cdot 27 + 5}{27} = \frac{59}{27}$
$10\frac{5}{6} = \frac{10 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{65}{6}$

Теперь необходимо привести дроби к общему знаменателю. Наименьшим общим кратным (НОК) для знаменателей 4, 27 и 6 является 108. Приведем дроби к этому знаменателю:
$\frac{53}{4} - \frac{59}{27} - \frac{65}{6} = \frac{53 \cdot 27}{108} - \frac{59 \cdot 4}{108} - \frac{65 \cdot 18}{108} = \frac{1431 - 236 - 1170}{108}$

Выполним вычитание в числителе:
$1431 - 236 - 1170 = 1195 - 1170 = 25$
Результат первого действия: $\frac{25}{108}$.

2. Умножим результат первого действия на 2: $2 \cdot \frac{25}{108}$

$2 \cdot \frac{25}{108} = \frac{50}{108}$.
Сократим полученную дробь на 2:
$\frac{50 \div 2}{108 \div 2} = \frac{25}{54}$.

3. Выполним умножение: $\frac{25}{54} \cdot 230\frac{1}{25}$

Преобразуем смешанное число $230\frac{1}{25}$ в неправильную дробь:
$230\frac{1}{25} = \frac{230 \cdot 25 + 1}{25} = \frac{5750 + 1}{25} = \frac{5751}{25}$.

Теперь выполним умножение дробей:
$\frac{25}{54} \cdot \frac{5751}{25} = \frac{25 \cdot 5751}{54 \cdot 25} = \frac{5751}{54}$.
Сократим дробь $\frac{5751}{54}$. Сумма цифр числителя ($5+7+5+1=18$) и знаменателя ($5+4=9$) делится на 9, поэтому дробь сократима на 9:
$5751 \div 9 = 639$
$54 \div 9 = 6$
Получаем дробь $\frac{639}{6}$. Эту дробь можно сократить на 3:
$639 \div 3 = 213$
$6 \div 3 = 2$
Результат этого действия: $\frac{213}{2}$.

4. Выполним деление: $2001 : 3$

$2001 : 3 = 667$.

5. Подставим полученные результаты в выражение и выполним оставшиеся действия

Исходное выражение приняло вид: $\frac{213}{2} - 41\frac{1}{4} + 667$.
Переведем $41\frac{1}{4}$ в неправильную дробь: $41\frac{1}{4} = \frac{41 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{165}{4}$.
Получаем: $\frac{213}{2} - \frac{165}{4} + 667$.

Выполним вычитание $\frac{213}{2} - \frac{165}{4}$. Общий знаменатель - 4.
$\frac{213 \cdot 2}{4} - \frac{165}{4} = \frac{426}{4} - \frac{165}{4} = \frac{426 - 165}{4} = \frac{261}{4}$.

Теперь выполним сложение: $\frac{261}{4} + 667$.
$\frac{261}{4} + \frac{667}{1} = \frac{261}{4} + \frac{667 \cdot 4}{4} = \frac{261 + 2668}{4} = \frac{2929}{4}$.

Преобразуем неправильную дробь $\frac{2929}{4}$ в смешанное число:
$2929 \div 4 = 732$ и остаток $1$.
Следовательно, $\frac{2929}{4} = 732\frac{1}{4}$.

Ответ: $732\frac{1}{4}$

3 a) $90 \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \right);$

б) $\frac{\sqrt{7} + \sqrt{2}}{\sqrt{7} - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{\frac{14}{25}};$

В) $\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{3}}.$

а)

Решим выражение $90 \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \right)$.
Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю.
Общий знаменатель: $(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})$.
Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3}) = (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1$.
Теперь преобразуем числитель:
$\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{3}) - \sqrt{2}(\sqrt{2}-\sqrt{3}) = (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}) - (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}) = (2+\sqrt{6}) - (2-\sqrt{6}) = 2+\sqrt{6}-2+\sqrt{6} = 2\sqrt{6}$.
Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{2\sqrt{6}}{-1} = -2\sqrt{6}$.
Осталось умножить на 90:
$90 \cdot (-2\sqrt{6}) = -180\sqrt{6}$.
Ответ: $-180\sqrt{6}$.

б)

Решим выражение $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{\sqrt{7}-\sqrt{2}} - 2\sqrt{\frac{14}{25}}$.
Упростим первое слагаемое, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{7}+\sqrt{2})$:
$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{\sqrt{7}-\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}+\sqrt{2})}{(\sqrt{7}-\sqrt{2})(\sqrt{7}+\sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{7 + 2\sqrt{7}\sqrt{2} + 2}{7 - 2} = \frac{9 + 2\sqrt{14}}{5}$.
Теперь упростим второе слагаемое:
$2\sqrt{\frac{14}{25}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{25}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{14}}{5} = \frac{2\sqrt{14}}{5}$.
Выполним вычитание:
$\frac{9 + 2\sqrt{14}}{5} - \frac{2\sqrt{14}}{5} = \frac{9 + 2\sqrt{14} - 2\sqrt{14}}{5} = \frac{9}{5}$.
Ответ: $\frac{9}{5}$.

в)

Решим выражение $\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}$.
Будем последовательно упрощать выражение, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ и формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$.
Сначала перемножим первые два множителя:
$\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} = \sqrt{(2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}})(2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}})}$.
По формуле разности квадратов это равно:
$\sqrt{2^2 - (\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}})^2} = \sqrt{4 - (2+\sqrt{2+\sqrt{3}})} = \sqrt{2 - \sqrt{2+\sqrt{3}}}$.
Теперь наше выражение выглядит так:
$\sqrt{2 - \sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}$.
Снова перемножим первые два множителя:
$\sqrt{2 - \sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} = \sqrt{(2-\sqrt{2+\sqrt{3}})(2+\sqrt{2+\sqrt{3}})} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{2+\sqrt{3}})^2} = \sqrt{4 - (2+\sqrt{3})} = \sqrt{2-\sqrt{3}}$.
Выражение упростилось до:
$\sqrt{2-\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}$.
И последний раз применяем формулу разности квадратов:
$\sqrt{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4-3} = \sqrt{1} = 1$.
Ответ: $1$.

4 a) Делится ли число $679^{679}$ на число 2001? Ответ обоснуйте.

б) Делится ли на 679 число $2001^4 - 1322^4$?

а)

Для того чтобы число $679^{679}$ делилось на 2001, необходимо, чтобы все простые множители числа 2001 также являлись простыми множителями числа 679.

Сначала разложим число 2001 на простые множители. Сумма цифр числа 2001 равна $2+0+0+1=3$, значит, число делится на 3.

$2001 = 3 \cdot 667$

Далее разложим на множители 667. Подбором простых делителей находим:

$667 = 23 \cdot 29$

Таким образом, полное разложение числа 2001 на простые множители выглядит так: $2001 = 3 \cdot 23 \cdot 29$.

Теперь рассмотрим число 679. Проверим, делится ли оно на 3. Сумма его цифр $6+7+9=22$. Поскольку 22 не делится на 3, то и само число 679 не делится на 3.

Число $679^{679}$ является произведением числа 679, взятого 679 раз. Его простые множители — это те же, что и у числа 679. Так как 3 не является простым множителем числа 679, то 3 не может быть и простым множителем числа $679^{679}$.

Поскольку число $679^{679}$ не делится на 3, а число 2001 делится на 3, то число $679^{679}$ не может делиться на 2001.

Ответ: нет, не делится.

б)

Рассмотрим выражение $2001^4 - 1322^4$. Это разность четвертых степеней. Для ее решения воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Представим выражение в виде разности квадратов:

$2001^4 - 1322^4 = (2001^2)^2 - (1322^2)^2 = (2001^2 - 1322^2)(2001^2 + 1322^2)$

Применим формулу разности квадратов еще раз для первого множителя:

$(2001^2 - 1322^2) = (2001 - 1322)(2001 + 1322)$

Теперь все выражение можно записать в виде:

$2001^4 - 1322^4 = (2001 - 1322)(2001 + 1322)(2001^2 + 1322^2)$

Вычислим значение первого множителя в этом произведении:

$2001 - 1322 = 679$

Таким образом, исходное выражение равно:

$2001^4 - 1322^4 = 679 \cdot (2001 + 1322) \cdot (2001^2 + 1322^2)$

Поскольку один из множителей в произведении равен 679, а остальные множители $(2001 + 1322)$ и $(2001^2 + 1322^2)$ являются целыми числами, их произведение также является целым числом. Следовательно, все выражение $2001^4 - 1322^4$ делится на 679 нацело.

Ответ: да, делится.

5 а) Натуральные числа с 1 по 2001 записали подряд без запятых:
123456789101112131415161718...20002001.
Делится ли полученное число на 3; на 9?

б) Натуральные числа, начиная с 1, выписали подряд без запятых: 123456789101112131415161718192021...
Какая цифра стоит на 2001-м месте?

Согласно признакам делимости, число делится на 3 (или на 9) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 (или на 9). Таким образом, задача сводится к нахождению суммы цифр $S$ всех натуральных чисел от 1 до 2001.

Разобьем вычисление на несколько этапов:

1. Сумма цифр чисел от 1 до 999.
Рассмотрим все числа от 000 до 999. Всего таких чисел 1000, и каждое можно представить в виде трехзначного числа (добавив ведущие нули, например, 1 как 001). Общее количество цифр в этих числах равно $1000 \times 3 = 3000$. В силу симметрии, каждая из цифр от 0 до 9 встречается одинаковое количество раз: $3000 / 10 = 300$ раз. Сумма всех цифр от 0 до 9 составляет $0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$. Тогда общая сумма цифр для чисел от 000 до 999 равна $300 \times 45 = 13500$. Добавление ведущих нулей не меняет сумму цифр, поэтому сумма цифр натуральных чисел от 1 до 999 также равна 13500.

2. Сумма цифр чисел от 1000 до 1999.
В каждом из этих 1000 чисел первая цифра (в разряде тысяч) — это 1. Сумма этих первых цифр равна $1000 \times 1 = 1000$. Оставшиеся три цифры в каждом числе пробегают все значения от 000 до 999. Сумма этих цифр, как мы уже выяснили в предыдущем пункте, равна 13500. Таким образом, общая сумма цифр для чисел от 1000 до 1999 составляет $1000 + 13500 = 14500$.

3. Сумма цифр чисел 2000 и 2001.
Сумма цифр числа 2000 равна $2+0+0+0 = 2$.
Сумма цифр числа 2001 равна $2+0+0+1 = 3$.
Их общая сумма равна $2+3 = 5$.

4. Общая сумма цифр $S$.
Сложим все полученные суммы: $S = 13500 + 14500 + 5 = 28005$.

5. Проверка делимости.
Теперь проверим делимость числа $S = 28005$ на 3 и 9. Сумма цифр самого числа $S$ равна $2+8+0+0+5 = 15$.
- Поскольку 15 делится на 3 ($15 = 3 \times 5$), то и число $S$ делится на 3, а значит, и исходное большое число делится на 3.
- Поскольку 15 не делится на 9, то и число $S$ не делится на 9, а значит, и исходное большое число не делится на 9.

Ответ: Полученное число делится на 3, но не делится на 9.

Чтобы найти цифру, стоящую на 2001-м месте, определим, сколько цифр занимают числа разной длины.

1. Однозначные числа (1-9):
Всего 9 чисел, каждое состоит из одной цифры. Они занимают $9 \times 1 = 9$ мест в последовательности.

2. Двузначные числа (10-99):
Всего $99 - 10 + 1 = 90$ чисел. Каждое состоит из двух цифр. Они занимают $90 \times 2 = 180$ мест.

Общее количество мест, занятых однозначными и двузначными числами, равно $9 + 180 = 189$.
Поскольку $2001 > 189$, искомая цифра принадлежит одному из трехзначных чисел.

3. Трехзначные числа (100-999):
Определим позицию искомой цифры внутри блока трехзначных чисел. Отнимем количество цифр, которые уже прошли: $2001 - 189 = 1812$. Это значит, что нам нужна 1812-я цифра в последовательности, состоящей из выписанных подряд трехзначных чисел (100101102...).

Каждое трехзначное число состоит из 3 цифр. Чтобы найти, какому по счету трехзначному числу принадлежит 1812-я цифра, разделим 1812 на 3: $1812 \div 3 = 604$. Деление прошло без остатка. Это означает, что 1812-я цифра является последней, третьей цифрой 604-го по счету трехзначного числа.

Теперь найдем это число. Первое трехзначное число — 100, второе — 101, и так далее. Номер 604 в последовательности трехзначных чисел имеет число: $100 + (604 - 1) = 100 + 603 = 703$.

Искомая цифра — это последняя цифра числа 703.

Ответ: На 2001-м месте стоит цифра 3.

6 Сколько натуральных чисел от $1$ до $2001$ не делятся ни на $2$, ни на $7$?

Для нахождения количества натуральных чисел от 1 до 2001, которые не делятся ни на 2, ни на 7, воспользуемся методом включений-исключений.

Общее количество натуральных чисел в данном диапазоне составляет 2001.

1. Сначала найдем количество чисел, которые делятся на 2. Для этого разделим 2001 на 2 и возьмем целую часть:
$N_2 = \lfloor \frac{2001}{2} \rfloor = 1000$
Таким образом, 1000 чисел делятся на 2.

2. Затем найдем количество чисел, которые делятся на 7:
$N_7 = \lfloor \frac{2001}{7} \rfloor = 285$
Таким образом, 285 чисел делятся на 7.

3. Если мы просто сложим $N_2$ и $N_7$, мы дважды посчитаем числа, которые делятся и на 2, и на 7 одновременно. Это числа, которые делятся на их наименьшее общее кратное, то есть на $2 \times 7 = 14$. Найдем количество таких чисел:
$N_{14} = \lfloor \frac{2001}{14} \rfloor = 142$
Таким образом, 142 числа делятся и на 2, и на 7.

4. Теперь мы можем найти количество чисел, которые делятся хотя бы на одно из этих чисел (на 2 или на 7), используя формулу включений-исключений:
$N_{2 \text{ или } 7} = N_2 + N_7 - N_{14} = 1000 + 285 - 142 = 1143$
Итак, 1143 числа в диапазоне от 1 до 2001 делятся на 2 или на 7.

5. Наконец, чтобы найти количество чисел, которые не делятся ни на 2, ни на 7, нужно из общего количества чисел вычесть те, которые делятся на 2 или на 7:
$N_{недел} = 2001 - N_{2 \text{ или } 7} = 2001 - 1143 = 858$

Ответ: 858

7 Докажите, что $\sin 10^\circ$ – иррациональное число.

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что $\sin(10^\circ)$ — рациональное число.

Пусть $x = \sin(10^\circ)$. Воспользуемся известной тригонометрической формулой синуса тройного угла: $\sin(3\alpha) = 3\sin(\alpha) - 4\sin^3(\alpha)$.

Применим эту формулу для $\alpha = 10^\circ$. В этом случае $3\alpha = 30^\circ$, а значение синуса этого угла нам известно: $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Подставим значения в формулу:

$\sin(3 \cdot 10^\circ) = 3\sin(10^\circ) - 4\sin^3(10^\circ)$

$\frac{1}{2} = 3x - 4x^3$

Чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами, умножим обе части на 2 и перенесем все члены в левую часть:

$1 = 6x - 8x^3$

$8x^3 - 6x + 1 = 0$

Таким образом, мы показали, что $x = \sin(10^\circ)$ является корнем кубического уравнения $8x^3 - 6x + 1 = 0$ с целыми коэффициентами.

Согласно теореме о рациональных корнях многочлена, если это уравнение имеет рациональный корень вида $\frac{p}{q}$ (где $p$ и $q$ — взаимно простые целые числа), то числитель $p$ должен быть делителем свободного члена (в нашем случае 1), а знаменатель $q$ — делителем старшего коэффициента (в нашем случае 8).

Делители свободного члена (1): $\pm 1$.
Делители старшего коэффициента (8): $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$.

Следовательно, все возможные рациональные корни нашего уравнения — это числа: $\pm 1, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{1}{4}, \pm\frac{1}{8}$.

Теперь проверим, является ли какое-либо из этих чисел решением уравнения $8x^3 - 6x + 1 = 0$. Обозначим многочлен как $P(x) = 8x^3 - 6x + 1$.
$P(1) = 8(1)^3 - 6(1) + 1 = 3 \neq 0$
$P(-1) = 8(-1)^3 - 6(-1) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1 \neq 0$
$P(\frac{1}{2}) = 8(\frac{1}{2})^3 - 6(\frac{1}{2}) + 1 = 8(\frac{1}{8}) - 3 + 1 = -1 \neq 0$
$P(-\frac{1}{2}) = 8(-\frac{1}{2})^3 - 6(-\frac{1}{2}) + 1 = 8(-\frac{1}{8}) + 3 + 1 = 3 \neq 0$
$P(\frac{1}{4}) = 8(\frac{1}{4})^3 - 6(\frac{1}{4}) + 1 = 8(\frac{1}{64}) - \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{8} - \frac{12}{8} + \frac{8}{8} = -\frac{3}{8} \neq 0$
$P(-\frac{1}{4}) = 8(-\frac{1}{4})^3 - 6(-\frac{1}{4}) + 1 = 8(-\frac{1}{64}) + \frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{8} + \frac{12}{8} + \frac{8}{8} = \frac{19}{8} \neq 0$
$P(\frac{1}{8}) = 8(\frac{1}{8})^3 - 6(\frac{1}{8}) + 1 = 8(\frac{1}{512}) - \frac{3}{4} + 1 = \frac{1}{64} - \frac{48}{64} + \frac{64}{64} = \frac{17}{64} \neq 0$
$P(-\frac{1}{8}) = 8(-\frac{1}{8})^3 - 6(-\frac{1}{8}) + 1 = 8(-\frac{1}{512}) + \frac{3}{4} + 1 = -\frac{1}{64} + \frac{48}{64} + \frac{64}{64} = \frac{111}{64} \neq 0$

Проверка показала, что ни один из возможных рациональных корней не является решением уравнения. Это означает, что у уравнения $8x^3 - 6x + 1 = 0$ нет рациональных корней.Поскольку $\sin(10^\circ)$ является корнем этого уравнения, он не может быть рациональным числом. Это противоречит нашему первоначальному предположению.

Ответ: предположение о рациональности $\sin(10^\circ)$ привело к противоречию, следовательно, $\sin(10^\circ)$ — иррациональное число, что и требовалось доказать.

8 Найдите натуральные числа $n$, для которых $(\text{НОД} (n; 4))^2 = n$, где $\text{НОД} (n; 4)$ — наибольший общий делитель чисел $n$ и $4$.

Пусть $d = \text{НОД}(n; 4)$. По определению, наибольший общий делитель (НОД) является делителем каждого из чисел. Следовательно, $d$ должен быть делителем числа 4. Натуральными делителями числа 4 являются числа 1, 2 и 4. Это означает, что $\text{НОД}(n; 4)$ может принимать только одно из этих трех значений.

Рассмотрим последовательно каждый из этих возможных случаев.

1. Пусть $\text{НОД}(n; 4) = 1$. Подставим это значение в исходное уравнение $(\text{НОД}(n; 4))^2 = n$. Получим: $1^2 = n$, $n = 1$. Теперь необходимо проверить, соответствует ли найденное значение $n$ нашему первоначальному предположению. Проверим $\text{НОД}(1; 4)$. Наибольший общий делитель чисел 1 и 4 действительно равен 1. Предположение верно, следовательно, $n = 1$ является решением.

2. Пусть $\text{НОД}(n; 4) = 2$. Подставим это значение в уравнение: $2^2 = n$, $n = 4$. Проверим наше предположение для $n=4$: $\text{НОД}(4; 4)$. Наибольший общий делитель числа 4 и 4 равен 4. Это противоречит нашему предположению, что $\text{НОД}(n; 4) = 2$. Следовательно, в этом случае решений нет.

3. Пусть $\text{НОД}(n; 4) = 4$. Подставим это значение в уравнение: $4^2 = n$, $n = 16$. Проверим предположение для $n=16$: $\text{НОД}(16; 4)$. Наибольший общий делитель чисел 16 и 4 равен 4 (так как 16 делится на 4). Это соответствует нашему предположению. Следовательно, $n = 16$ является решением.

Мы рассмотрели все возможные значения для $\text{НОД}(n; 4)$ и нашли, что уравнению удовлетворяют два натуральных числа.

Ответ: 1, 16.

9 Докажите, что данное число является целым, и найдите его:

а) $\sqrt{7-4\sqrt{3}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}$;

б) $\sqrt{9-4\sqrt{5}}+\sqrt{14-6\sqrt{5}}$.

а) $\sqrt{7-4\sqrt{3}} + \sqrt{4-2\sqrt{3}}$

Для доказательства того, что данное число является целым, и нахождения его значения, мы упростим каждое слагаемое, представив подкоренные выражения в виде полных квадратов. Это делается с помощью формулы квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

1. Упростим первое слагаемое $\sqrt{7-4\sqrt{3}}$.

Представим $4\sqrt{3}$ в виде $2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}$. Тогда по формуле полного квадрата $2ab = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}$. Можно предположить, что $a=2$ и $b=\sqrt{3}$. Проверим, равно ли $a^2+b^2$ числу 7: $a^2+b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$. Предположение верно. Таким образом, $7-4\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^2$.

Следовательно, $\sqrt{7-4\sqrt{3}} = \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} = |2-\sqrt{3}|$. Так как $2 = \sqrt{4}$ и $\sqrt{4} > \sqrt{3}$, то выражение $2-\sqrt{3}$ положительно, и модуль можно опустить: $|2-\sqrt{3}| = 2-\sqrt{3}$.

2. Упростим второе слагаемое $\sqrt{4-2\sqrt{3}}$.

Представим $2\sqrt{3}$ в виде $2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3}$. Можно предположить, что $a=\sqrt{3}$ и $b=1$. Проверим, равно ли $a^2+b^2$ числу 4: $a^2+b^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$. Предположение верно. Таким образом, $4-2\sqrt{3} = (\sqrt{3}-1)^2$.

Следовательно, $\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2} = |\sqrt{3}-1|$. Так как $\sqrt{3} > \sqrt{1}=1$, то выражение $\sqrt{3}-1$ положительно, и модуль можно опустить: $|\sqrt{3}-1| = \sqrt{3}-1$.

3. Сложим полученные результаты:

$(2-\sqrt{3}) + (\sqrt{3}-1) = 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - 1 = 1$.

Число 1 является целым. Таким образом, мы доказали, что данное число является целым, и нашли его значение.

Ответ: 1

б) $\sqrt{9-4\sqrt{5}} + \sqrt{14-6\sqrt{5}}$

Действуем аналогично пункту а), используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

1. Упростим первое слагаемое $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$.

Представим $4\sqrt{5}$ в виде $2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5}$. Можно предположить, что $a=2$ и $b=\sqrt{5}$. Проверим, равно ли $a^2+b^2$ числу 9: $a^2+b^2 = 2^2 + (\sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9$. Предположение верно. Таким образом, $9-4\sqrt{5} = (2-\sqrt{5})^2$.

Следовательно, $\sqrt{9-4\sqrt{5}} = \sqrt{(2-\sqrt{5})^2} = |2-\sqrt{5}|$. Так как $2 = \sqrt{4}$ и $\sqrt{4} < \sqrt{5}$, то выражение $2-\sqrt{5}$ отрицательно. Поэтому, раскрывая модуль, меняем знак: $|2-\sqrt{5}| = -(2-\sqrt{5}) = \sqrt{5}-2$.

2. Упростим второе слагаемое $\sqrt{14-6\sqrt{5}}$.

Представим $6\sqrt{5}$ в виде $2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5}$. Можно предположить, что $a=3$ и $b=\sqrt{5}$. Проверим, равно ли $a^2+b^2$ числу 14: $a^2+b^2 = 3^2 + (\sqrt{5})^2 = 9 + 5 = 14$. Предположение верно. Таким образом, $14-6\sqrt{5} = (3-\sqrt{5})^2$.

Следовательно, $\sqrt{14-6\sqrt{5}} = \sqrt{(3-\sqrt{5})^2} = |3-\sqrt{5}|$. Так как $3 = \sqrt{9}$ и $\sqrt{9} > \sqrt{5}$, то выражение $3-\sqrt{5}$ положительно, и модуль можно опустить: $|3-\sqrt{5}| = 3-\sqrt{5}$.

3. Сложим полученные результаты:

$(\sqrt{5}-2) + (3-\sqrt{5}) = \sqrt{5} - 2 + 3 - \sqrt{5} = 1$.

Число 1 является целым. Таким образом, мы доказали, что данное число является целым, и нашли его значение.

Ответ: 1

Вычислите без таблиц и калькулятора (10–15):

10 а) $\arccos(\sin 5) + \arcsin(\cos 5);$

б) $\operatorname{arctg}(\operatorname{ctg} 4) + \operatorname{arcctg}(-\operatorname{tg} 4).$

а) $arccos(\sin 5) + \arcsin(\cos 5)$

Для решения этой задачи мы будем использовать формулы приведения и определения обратных тригонометрических функций.

Сначала преобразуем аргументы внутри обратных функций, используя формулы приведения:

$\sin(x) = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$

$\cos(x) = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$

Применив их, получим:

$arccos(\sin 5) = arccos(\cos(\frac{\pi}{2} - 5))$

$\arcsin(\cos 5) = \arcsin(\sin(\frac{\pi}{2} - 5))$

Теперь нужно вычислить значение каждого слагаемого.

1. Вычислим $arccos(\cos(\frac{\pi}{2} - 5))$.

По определению, область значений функции $y = \arccos(x)$ является отрезок $[0, \pi]$. Таким образом, нам нужно найти такое число $\alpha \in [0, \pi]$, что $\cos(\alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} - 5)$.

Оценим значение аргумента $\frac{\pi}{2} - 5$. Учитывая, что $\pi \approx 3.14159$, получаем:

$\frac{\pi}{2} - 5 \approx \frac{3.14159}{2} - 5 = 1.5708 - 5 = -3.4292$.

Это значение не принадлежит отрезку $[0, \pi]$.

Используем свойство четности косинуса $\cos(-x) = \cos(x)$:

$\cos(\frac{\pi}{2} - 5) = \cos(-(\frac{\pi}{2} - 5)) = \cos(5 - \frac{\pi}{2})$.

Оценим новое значение $5 - \frac{\pi}{2} \approx 5 - 1.5708 = 3.4292$.

Это значение также не принадлежит отрезку $[0, \pi]$, так как $3.4292 > \pi$.

Используем периодичность косинуса и свойство $\cos(x) = \cos(2\pi - x)$. Для угла $\theta = 5 - \frac{\pi}{2}$, который находится в интервале $(\pi, 2\pi)$, значение арккосинуса будет $2\pi - \theta$.

$arccos(\cos(5 - \frac{\pi}{2})) = 2\pi - (5 - \frac{\pi}{2}) = 2\pi - 5 + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{2} - 5$.

Проверим, что $\frac{5\pi}{2} - 5$ лежит в отрезке $[0, \pi]$: $\frac{5 \cdot 3.14159}{2} - 5 \approx 7.854 - 5 = 2.854$, и $0 \le 2.854 \le \pi$.

Итак, $arccos(\sin 5) = \frac{5\pi}{2} - 5$.

2. Вычислим $\arcsin(\sin(\frac{\pi}{2} - 5))$.

Область значений функции $y = \arcsin(x)$ — отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Нам нужно найти такое число $\beta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, что $\sin(\beta) = \sin(\frac{\pi}{2} - 5)$.

Как мы уже знаем, $\frac{\pi}{2} - 5 \approx -3.4292$. Это значение не принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \approx [-1.5708, 1.5708]$.

Используем свойство $\sin(x) = \sin(-x-\pi)$ для $x \in [-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$. Так как $-\frac{3\pi}{2} \approx -4.712$ и $-\frac{\pi}{2} \approx -1.5708$, то наш угол $\frac{\pi}{2} - 5$ находится в этом интервале.

Значит, $\arcsin(\sin(\frac{\pi}{2} - 5)) = -\pi - (\frac{\pi}{2} - 5) = -\pi - \frac{\pi}{2} + 5 = 5 - \frac{3\pi}{2}$.

Проверим, что $5 - \frac{3\pi}{2}$ лежит в отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$: $5 - \frac{3 \cdot 3.14159}{2} \approx 5 - 4.712 = 0.288$, и $-\frac{\pi}{2} \le 0.288 \le \frac{\pi}{2}$.

Итак, $\arcsin(\cos 5) = 5 - \frac{3\pi}{2}$.

3. Найдем сумму:

$(\frac{5\pi}{2} - 5) + (5 - \frac{3\pi}{2}) = \frac{5\pi}{2} - \frac{3\pi}{2} - 5 + 5 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Ответ: $\pi$

б) $arcctg(ctg 4) + arcctg(-tg 4)$

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.

1. Вычислим $arcctg(ctg 4)$.

Область значений функции $y = arcctg(x)$ — это интервал $(0, \pi)$. Нам нужно найти такое $\alpha \in (0, \pi)$, что $ctg(\alpha) = ctg(4)$.

Аргумент 4 (в радианах) не принадлежит интервалу $(0, \pi)$, так как $\pi \approx 3.14159$ и $4 > \pi$.

Функция котангенс имеет период $\pi$, то есть $ctg(x) = ctg(x + k\pi)$ для любого целого $k$.

Найдем такое $k$, чтобы значение $4 + k\pi$ попало в интервал $(0, \pi)$.

При $k=-1$ получаем $4 - \pi \approx 4 - 3.14159 = 0.85841$.

Так как $0 < 0.85841 < \pi$, то это значение нам подходит.

Следовательно, $arcctg(ctg 4) = 4 - \pi$.

2. Вычислим $arcctg(-tg 4)$.

Сначала воспользуемся свойством арккотангенса $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$:

$arcctg(-tg 4) = \pi - arcctg(tg 4)$.

Теперь преобразуем тангенс в котангенс, используя формулу приведения $tg(x) = ctg(\frac{\pi}{2} - x)$:

$arcctg(tg 4) = arcctg(ctg(\frac{\pi}{2} - 4))$.

Нам нужно найти такое $\beta \in (0, \pi)$, что $ctg(\beta) = ctg(\frac{\pi}{2} - 4)$.

Оценим значение $\frac{\pi}{2} - 4 \approx 1.5708 - 4 = -2.4292$.

Это значение не принадлежит интервалу $(0, \pi)$. Снова используем периодичность котангенса.

При $k=1$ получаем $\frac{\pi}{2} - 4 + \pi = \frac{3\pi}{2} - 4$.

Оценим это значение: $\frac{3\pi}{2} - 4 \approx 4.7124 - 4 = 0.7124$.

Так как $0 < 0.7124 < \pi$, то $arcctg(ctg(\frac{\pi}{2} - 4)) = \frac{3\pi}{2} - 4$.

Теперь подставим это в наше выражение для второго слагаемого:

$arcctg(-tg 4) = \pi - (\frac{3\pi}{2} - 4) = \pi - \frac{3\pi}{2} + 4 = 4 - \frac{\pi}{2}$.

3. Найдем сумму:

$(4 - \pi) + (4 - \frac{\pi}{2}) = 4 + 4 - \pi - \frac{\pi}{2} = 8 - \frac{2\pi + \pi}{2} = 8 - \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $8 - \frac{3\pi}{2}$