Страница 404 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

18.1 Убедитесь в том, что числа:

a) $1 + i$ и $1 - i$ являются корнями многочлена $x^2 - 2x + 2$;

б) $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ и $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ являются корнями многочлена $x^2 - x + 1$.

а) Чтобы убедиться, что числа $1 + i$ и $1 - i$ являются корнями многочлена $x^2 - 2x + 2$, нужно подставить каждое из этих чисел в многочлен вместо $x$ и проверить, будет ли результат равен нулю.

1. Проверка для $x = 1 + i$:

Подставляем $1 + i$ в многочлен:

$(1 + i)^2 - 2(1 + i) + 2$

Раскрываем скобки. Сначала возводим в квадрат $(1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$.

Теперь подставляем результат обратно в выражение:

$2i - 2(1 + i) + 2 = 2i - 2 - 2i + 2$

Группируем действительные и мнимые части:

$(-2 + 2) + (2i - 2i) = 0 + 0 = 0$.

Результат равен 0, следовательно, $1 + i$ является корнем многочлена.

2. Проверка для $x = 1 - i$:

Подставляем $1 - i$ в многочлен:

$(1 - i)^2 - 2(1 - i) + 2$

Раскрываем скобки. Сначала возводим в квадрат $(1 - i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$.

Теперь подставляем результат обратно в выражение:

$-2i - 2(1 - i) + 2 = -2i - 2 + 2i + 2$

Группируем действительные и мнимые части:

$(-2 + 2) + (-2i + 2i) = 0 + 0 = 0$.

Результат равен 0, следовательно, $1 - i$ также является корнем многочлена.

Ответ: Мы убедились, что числа $1 + i$ и $1 - i$ являются корнями многочлена $x^2 - 2x + 2$, так как при подстановке каждого из них в многочлен получается 0.

б) Чтобы убедиться, что числа $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ и $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ являются корнями многочлена $x^2 - x + 1$, проделаем аналогичную процедуру подстановки.

1. Проверка для $x = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$:

Подставляем в многочлен:

$(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)^2 - (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) + 1$

Возводим в квадрат: $(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)^2 = (\frac{1}{2})^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}i + (\frac{\sqrt{3}}{2}i)^2 = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{3}{4}i^2 = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{3}{4} = -\frac{2}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}i = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$.

Подставляем результат в выражение:

$(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) - (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) + 1 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i + 1$

Группируем действительные и мнимые части:

$(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1) + (\frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = (-1 + 1) + 0 = 0$.

Результат равен 0, следовательно, $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ является корнем.

2. Проверка для $x = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$:

Подставляем в многочлен:

$(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i)^2 - (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) + 1$

Возводим в квадрат: $(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i)^2 = (\frac{1}{2})^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}i + (\frac{\sqrt{3}}{2}i)^2 = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{3}{4}i^2 = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{3}{4} = -\frac{2}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$.

Подставляем результат в выражение:

$(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) - (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) + 1 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i + 1$

Группируем действительные и мнимые части:

$(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1) + (-\frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = (-1 + 1) + 0 = 0$.

Результат равен 0, следовательно, $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ также является корнем.

Ответ: Мы убедились, что числа $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ и $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ являются корнями многочлена $x^2 - x + 1$, так как при подстановке каждого из них в многочлен получается 0.

Найдите все корни уравнения (18.2—18.4):

18.2 а) $x^2 - 5x + 2 = 0;$

б) $x^2 + x + 1 = 0;$

в) $x^2 + 3x + 6,25 = 0;$

г) $x^2 - 2x + 5 = 0;$

д) $x^2 + 3x + 3 = 0;$

е) $x^2 + 2x + 2 = 0.$

Дано квадратное уравнение $x^2 - 5x + 2 = 0$.

Для решения используем формулу корней квадратного уравнения. Сначала найдем дискриминант $D$. В данном уравнении коэффициенты $a=1$, $b=-5$, $c=2$.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Подставим значения коэффициентов:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 25 - 8 = 17$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Ответ: $\frac{5 - \sqrt{17}}{2}; \frac{5 + \sqrt{17}}{2}$.

Дано квадратное уравнение $x^2 + x + 1 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=1$, $c=1$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

Дано квадратное уравнение $x^2 + 3x + 6,25 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=3$, $c=6,25$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6,25 = 9 - 25 = -16$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 2x + 5 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-2$, $c=5$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

Дано квадратное уравнение $x^2 + 3x + 3 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=3$, $c=3$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

Дано квадратное уравнение $x^2 + 2x + 2 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=2$, $c=2$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

18.3 a) $2x^2 + 5x + 2 = 0$;

В) $2x^2 + 2x + 1 = 0$;

Д) $5x^2 + 7x + 3 = 0$;

б) $3x^2 - x + 2 = 0$;

Г) $2x^2 - 2x + 1 = 0$;

e) $6x^2 - 2x + 1 = 0$.

Для решения квадратных уравнений вида $ax^2 + bx + c = 0$ используется формула для нахождения корней через дискриминант. Сначала вычисляется дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, которые находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих), который находится по формуле $x = \frac{-b}{2a}$.
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

а) $2x^2 + 5x + 2 = 0$

В данном уравнении коэффициенты: $a = 2$, $b = 5$, $c = 2$.

Вычислим дискриминант:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Так как $D = 9 > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

Ответ: $x_1 = -0.5, x_2 = -2$.

б) $3x^2 - x + 2 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 3$, $b = -1$, $c = 2$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 - 24 = -23$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

в) $2x^2 + 2x + 1 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 2$, $b = 2$, $c = 1$.

Вычислим дискриминант:

$D = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

г) $2x^2 - 2x + 1 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 2$, $b = -2$, $c = 1$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

д) $5x^2 + 7x + 3 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 5$, $b = 7$, $c = 3$.

Вычислим дискриминант:

$D = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 49 - 60 = -11$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

e) $6x^2 - 2x + 1 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 6$, $b = -2$, $c = 1$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 4 - 24 = -20$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

18.4 а) $x^3 - 5x^2 + 8x - 4 = 0;$

б) $x^3 - 3x^2 + 4 = 0;$

В) $x^3 - 1 = 0;$

Г) $x^3 + 1 = 0;$

Д) $x^4 + 2x^2 + 3 = 0;$

е) $x^3 + 5x^2 + 17x + 13 = 0.$

а) Решим уравнение $x^3 - 5x^2 + 8x - 4 = 0$.

Согласно теореме о рациональных корнях, целые корни этого уравнения следует искать среди делителей свободного члена (числа $-4$). Делителями являются: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.

Подставим $x=1$ в уравнение: $1^3 - 5(1)^2 + 8(1) - 4 = 1 - 5 + 8 - 4 = 0$.

Поскольку получилось верное равенство, $x=1$ является корнем уравнения. Следовательно, многочлен $x^3 - 5x^2 + 8x - 4$ делится на двучлен $(x-1)$ без остатка. Выполним деление многочлена на двучлен (например, столбиком или по схеме Горнера):

$(x^3 - 5x^2 + 8x - 4) \div (x-1) = x^2 - 4x + 4$.

Таким образом, исходное уравнение можно представить в виде:

$(x-1)(x^2 - 4x + 4) = 0$.

Выражение в скобках является полным квадратом: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.

Уравнение принимает вид: $(x-1)(x-2)^2 = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x-1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$

$(x-2)^2 = 0 \Rightarrow x-2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$ (корень кратности 2).

Ответ: $1; 2$.

б) Решим уравнение $x^3 - 3x^2 + 4 = 0$.

Ищем целые корни среди делителей свободного члена 4: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.

Подставим $x=-1$: $(-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 - 3(1) + 4 = -1 - 3 + 4 = 0$.

$x=-1$ является корнем. Значит, многочлен $x^3 - 3x^2 + 4$ делится на $(x+1)$.

Выполним деление: $(x^3 - 3x^2 + 4) \div (x+1) = x^2 - 4x + 4$.

Уравнение принимает вид: $(x+1)(x^2 - 4x + 4) = 0$.

Выражение $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом $(x-2)^2$.

Уравнение: $(x+1)(x-2)^2 = 0$.

Корни уравнения:

$x+1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$

$(x-2)^2 = 0 \Rightarrow x-2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$ (корень кратности 2).

Ответ: $-1; 2$.

в) Решим уравнение $x^3 - 1 = 0$.

Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$x^3 - 1^3 = (x-1)(x^2 + x + 1) = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $x-1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$.

2) $x^2 + x + 1 = 0$.

Это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.

Так как $D < 0$, уравнение имеет два комплексных сопряженных корня:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, $x_2 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ и $x_3 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $1; \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}; \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$.

г) Решим уравнение $x^3 + 1 = 0$.

Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$x^3 + 1^3 = (x+1)(x^2 - x + 1) = 0$.

1) $x+1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$.

2) $x^2 - x + 1 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.

Корни: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, $x_2 = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}$ и $x_3 = \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-1; \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}; \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}$.

д) Решим уравнение $x^4 + 2x^2 + 3 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Введем замену переменной: пусть $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то и $y \ge 0$.

Уравнение принимает вид: $y^2 + 2y + 3 = 0$.

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней для $y$. А так как $y$ должно быть неотрицательным, то действительных корней для $x$ тоже нет.

Если требуется найти комплексные корни, то решим уравнение $y^2 + 2y + 3 = 0$ в поле комплексных чисел:

$y = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{2}}{2} = -1 \pm i\sqrt{2}$.

Теперь вернемся к замене $x^2=y$:

1) $x^2 = -1 + i\sqrt{2}$.

2) $x^2 = -1 - i\sqrt{2}$.

Найдем корни для первого случая. Пусть $x = a+bi$. Тогда $x^2 = (a^2-b^2)+2abi = -1+i\sqrt{2}$. Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему: $a^2-b^2=-1$ и $2ab=\sqrt{2}$. Также $|x^2| = |x|^2 \Rightarrow a^2+b^2 = |-1+i\sqrt{2}| = \sqrt{(-1)^2+(\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}$. Решая систему $a^2-b^2=-1$ и $a^2+b^2=\sqrt{3}$, находим $a^2 = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$ и $b^2 = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$. Так как $ab>0$, $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки. Отсюда два корня: $x_{1,2} = \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{3}-1}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{3}+1}{2}} \right)$.

Аналогично для второго случая $x^2 = -1 - i\sqrt{2}$. Корни будут комплексно сопряженными к предыдущим. Два других корня: $x_{3,4} = \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{3}-1}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{3}+1}{2}} \right)$.

Ответ: действительных корней нет. Комплексные корни: $\pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{3}-1}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{3}+1}{2}} \right), \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{3}-1}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{3}+1}{2}} \right)$.

е) Решим уравнение $x^3 + 5x^2 + 17x + 13 = 0$.

Ищем целые корни среди делителей свободного члена 13: $\pm 1, \pm 13$.

Подставим $x=-1$: $(-1)^3 + 5(-1)^2 + 17(-1) + 13 = -1 + 5 - 17 + 13 = 0$.

$x=-1$ является корнем. Разделим многочлен на $(x+1)$:

$(x^3 + 5x^2 + 17x + 13) \div (x+1) = x^2 + 4x + 13$.

Уравнение принимает вид: $(x+1)(x^2 + 4x + 13) = 0$.

1) $x+1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$.

2) $x^2 + 4x + 13 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36$.

Корни: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i$.

Таким образом, $x_2 = -2 + 3i$ и $x_3 = -2 - 3i$.

Ответ: $-1; -2+3i; -2-3i$.