Номер 18.4, страница 404 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 18. Корни многочленов. Показательная форма комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 18.4, страница 404.
№18.4 (с. 404)
Условие. №18.4 (с. 404)
скриншот условия

18.4 а) $x^3 - 5x^2 + 8x - 4 = 0;$
б) $x^3 - 3x^2 + 4 = 0;$
В) $x^3 - 1 = 0;$
Г) $x^3 + 1 = 0;$
Д) $x^4 + 2x^2 + 3 = 0;$
е) $x^3 + 5x^2 + 17x + 13 = 0.$
Решение 1. №18.4 (с. 404)






Решение 2. №18.4 (с. 404)




Решение 3. №18.4 (с. 404)

Решение 4. №18.4 (с. 404)
а) Решим уравнение $x^3 - 5x^2 + 8x - 4 = 0$.
Согласно теореме о рациональных корнях, целые корни этого уравнения следует искать среди делителей свободного члена (числа $-4$). Делителями являются: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.
Подставим $x=1$ в уравнение: $1^3 - 5(1)^2 + 8(1) - 4 = 1 - 5 + 8 - 4 = 0$.
Поскольку получилось верное равенство, $x=1$ является корнем уравнения. Следовательно, многочлен $x^3 - 5x^2 + 8x - 4$ делится на двучлен $(x-1)$ без остатка. Выполним деление многочлена на двучлен (например, столбиком или по схеме Горнера):
$(x^3 - 5x^2 + 8x - 4) \div (x-1) = x^2 - 4x + 4$.
Таким образом, исходное уравнение можно представить в виде:
$(x-1)(x^2 - 4x + 4) = 0$.
Выражение в скобках является полным квадратом: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.
Уравнение принимает вид: $(x-1)(x-2)^2 = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x-1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$
$(x-2)^2 = 0 \Rightarrow x-2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$ (корень кратности 2).
Ответ: $1; 2$.
б) Решим уравнение $x^3 - 3x^2 + 4 = 0$.
Ищем целые корни среди делителей свободного члена 4: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.
Подставим $x=-1$: $(-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 - 3(1) + 4 = -1 - 3 + 4 = 0$.
$x=-1$ является корнем. Значит, многочлен $x^3 - 3x^2 + 4$ делится на $(x+1)$.
Выполним деление: $(x^3 - 3x^2 + 4) \div (x+1) = x^2 - 4x + 4$.
Уравнение принимает вид: $(x+1)(x^2 - 4x + 4) = 0$.
Выражение $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом $(x-2)^2$.
Уравнение: $(x+1)(x-2)^2 = 0$.
Корни уравнения:
$x+1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$
$(x-2)^2 = 0 \Rightarrow x-2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$ (корень кратности 2).
Ответ: $-1; 2$.
в) Решим уравнение $x^3 - 1 = 0$.
Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$x^3 - 1^3 = (x-1)(x^2 + x + 1) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $x-1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$.
2) $x^2 + x + 1 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Так как $D < 0$, уравнение имеет два комплексных сопряженных корня:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, $x_2 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ и $x_3 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $1; \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}; \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$.
г) Решим уравнение $x^3 + 1 = 0$.
Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$x^3 + 1^3 = (x+1)(x^2 - x + 1) = 0$.
1) $x+1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$.
2) $x^2 - x + 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Корни: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, $x_2 = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}$ и $x_3 = \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-1; \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}; \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}$.
д) Решим уравнение $x^4 + 2x^2 + 3 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Введем замену переменной: пусть $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то и $y \ge 0$.
Уравнение принимает вид: $y^2 + 2y + 3 = 0$.
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.
Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней для $y$. А так как $y$ должно быть неотрицательным, то действительных корней для $x$ тоже нет.
Если требуется найти комплексные корни, то решим уравнение $y^2 + 2y + 3 = 0$ в поле комплексных чисел:
$y = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{2}}{2} = -1 \pm i\sqrt{2}$.
Теперь вернемся к замене $x^2=y$:
1) $x^2 = -1 + i\sqrt{2}$.
2) $x^2 = -1 - i\sqrt{2}$.
Найдем корни для первого случая. Пусть $x = a+bi$. Тогда $x^2 = (a^2-b^2)+2abi = -1+i\sqrt{2}$. Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему: $a^2-b^2=-1$ и $2ab=\sqrt{2}$. Также $|x^2| = |x|^2 \Rightarrow a^2+b^2 = |-1+i\sqrt{2}| = \sqrt{(-1)^2+(\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}$. Решая систему $a^2-b^2=-1$ и $a^2+b^2=\sqrt{3}$, находим $a^2 = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$ и $b^2 = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$. Так как $ab>0$, $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки. Отсюда два корня: $x_{1,2} = \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{3}-1}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{3}+1}{2}} \right)$.
Аналогично для второго случая $x^2 = -1 - i\sqrt{2}$. Корни будут комплексно сопряженными к предыдущим. Два других корня: $x_{3,4} = \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{3}-1}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{3}+1}{2}} \right)$.
Ответ: действительных корней нет. Комплексные корни: $\pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{3}-1}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{3}+1}{2}} \right), \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{3}-1}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{3}+1}{2}} \right)$.
е) Решим уравнение $x^3 + 5x^2 + 17x + 13 = 0$.
Ищем целые корни среди делителей свободного члена 13: $\pm 1, \pm 13$.
Подставим $x=-1$: $(-1)^3 + 5(-1)^2 + 17(-1) + 13 = -1 + 5 - 17 + 13 = 0$.
$x=-1$ является корнем. Разделим многочлен на $(x+1)$:
$(x^3 + 5x^2 + 17x + 13) \div (x+1) = x^2 + 4x + 13$.
Уравнение принимает вид: $(x+1)(x^2 + 4x + 13) = 0$.
1) $x+1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$.
2) $x^2 + 4x + 13 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36$.
Корни: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i$.
Таким образом, $x_2 = -2 + 3i$ и $x_3 = -2 - 3i$.
Ответ: $-1; -2+3i; -2-3i$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 18.4 расположенного на странице 404 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №18.4 (с. 404), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.