Номер 17.24, страница 401 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел - номер 17.24, страница 401.

Условие.

17.24 Найдите корни степени 2 из комплексного числа и найдите на комплексной плоскости точки, их изображающие:

а) $1$;

б) $-1$;

в) $4i$;

г) $-4i$;

д) $1 + i$;

е) $1 - i$;

ж) $1 + i\sqrt{3}$;

з) $1 - i\sqrt{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для нахождения корней степени 2 (квадратных корней) из комплексного числа $z$ можно использовать два основных метода: алгебраический и тригонометрический. В общем случае, если комплексное число представлено в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, то его корни $n$-ой степени находятся по формуле Муавра:

$w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1, \dots, n-1$.

Для квадратного корня $n=2$, и мы получаем два корня $w_0$ и $w_1$ (при $k=0$ и $k=1$).

а) Найдём корни степени 2 из числа $z=1$.

Это действительное число, его квадратные корни хорошо известны: $1$ и $-1$.

Используя формулу Муавра: представим $z=1$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |1| = 1$. Аргумент $\varphi = 0$.

$z = 1(\cos(0) + i\sin(0))$.

Корни: $w_k = \sqrt{1} \left( \cos\frac{0 + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{0 + 2\pi k}{2} \right) = \cos(\pi k) + i\sin(\pi k)$ для $k=0, 1$.

При $k=0$: $w_0 = \cos(0) + i\sin(0) = 1$.

При $k=1$: $w_1 = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1$.

Точки на комплексной плоскости, изображающие эти корни, имеют координаты $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

Ответ: Корни: $w_0=1$, $w_1=-1$. Точки на комплексной плоскости: $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

б) Найдём корни степени 2 из числа $z=-1$.

Представим $z=-1$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |-1| = 1$. Аргумент $\varphi = \pi$.

$z = 1(\cos(\pi) + i\sin(\pi))$.

Корни: $w_k = \sqrt{1} \left( \cos\frac{\pi + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{\pi + 2\pi k}{2} \right)$ для $k=0, 1$.

При $k=0$: $w_0 = \cos(\pi/2) + i\sin(\pi/2) = i$.

При $k=1$: $w_1 = \cos(3\pi/2) + i\sin(3\pi/2) = -i$.

Точки на комплексной плоскости, изображающие эти корни, имеют координаты $(0, 1)$ и $(0, -1)$.

Ответ: Корни: $w_0=i$, $w_1=-i$. Точки на комплексной плоскости: $(0, 1)$ и $(0, -1)$.

в) Найдём корни степени 2 из числа $z=4i$.

Представим $z=4i$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |4i| = 4$. Аргумент $\varphi = \pi/2$.

$z = 4(\cos(\pi/2) + i\sin(\pi/2))$.

Корни: $w_k = \sqrt{4} \left( \cos\frac{\pi/2 + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{\pi/2 + 2\pi k}{2} \right) = 2 \left( \cos(\frac{\pi}{4}+\pi k) + i\sin(\frac{\pi}{4}+\pi k) \right)$ для $k=0, 1$.

При $k=0$: $w_0 = 2(\cos(\pi/4) + i\sin(\pi/4)) = 2(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} + i\sqrt{2}$.

При $k=1$: $w_1 = 2(\cos(5\pi/4) + i\sin(5\pi/4)) = 2(-\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2} - i\sqrt{2}$.

Точки на комплексной плоскости: $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ и $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

Ответ: Корни: $w_0=\sqrt{2} + i\sqrt{2}$, $w_1=-\sqrt{2} - i\sqrt{2}$. Точки на комплексной плоскости: $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ и $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

г) Найдём корни степени 2 из числа $z=-4i$.

Представим $z=-4i$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |-4i| = 4$. Аргумент $\varphi = -\pi/2$ (или $3\pi/2$).

$z = 4(\cos(-\pi/2) + i\sin(-\pi/2))$.

Корни: $w_k = \sqrt{4} \left( \cos\frac{-\pi/2 + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{-\pi/2 + 2\pi k}{2} \right) = 2 \left( \cos(-\frac{\pi}{4}+\pi k) + i\sin(-\frac{\pi}{4}+\pi k) \right)$ для $k=0, 1$.

При $k=0$: $w_0 = 2(\cos(-\pi/4) + i\sin(-\pi/4)) = 2(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} - i\sqrt{2}$.

При $k=1$: $w_1 = 2(\cos(3\pi/4) + i\sin(3\pi/4)) = 2(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2} + i\sqrt{2}$.

Точки на комплексной плоскости: $(\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ и $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

Ответ: Корни: $w_0=\sqrt{2} - i\sqrt{2}$, $w_1=-\sqrt{2} + i\sqrt{2}$. Точки на комплексной плоскости: $(\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ и $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

д) Найдём корни степени 2 из числа $z=1+i$.

Воспользуемся алгебраическим методом. Пусть корень равен $w = x+iy$. Тогда $w^2 = (x+iy)^2 = x^2-y^2+2xyi = 1+i$.

Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 1 \\ 2xy = 1 \end{cases}$

Также, $|w|^2 = |z|$, т.е. $x^2+y^2 = |1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.

Решим систему: $\begin{cases} x^2 - y^2 = 1 \\ x^2 + y^2 = \sqrt{2} \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x^2 = 1+\sqrt{2} \Rightarrow x^2 = \frac{1+\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \pm\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}$.

Вычитая первое уравнение из второго, получаем $2y^2 = \sqrt{2}-1 \Rightarrow y^2 = \frac{\sqrt{2}-1}{2} \Rightarrow y = \pm\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$.

Так как $2xy=1 > 0$, знаки $x$ и $y$ должны совпадать.

Корни: $w_0 = \sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$ и $w_1 = -\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$.

Точки на комплексной плоскости: $(\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}, \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}})$ и $(-\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}, -\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}})$.

Ответ: Корни: $w_{0,1}=\pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\right)$. Точки на комплексной плоскости: $\left(\pm\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}, \pm\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\right)$, где знаки у координат совпадают.

е) Найдём корни степени 2 из числа $z=1-i$.

Аналогично предыдущему пункту, $w^2 = 1-i$. $|z|=\sqrt{2}$.

Система уравнений: $\begin{cases} x^2 - y^2 = 1 \\ 2xy = -1 \\ x^2+y^2=\sqrt{2} \end{cases}$

Решения для $x^2$ и $y^2$ те же: $x^2 = \frac{1+\sqrt{2}}{2}$, $y^2 = \frac{\sqrt{2}-1}{2}$.

Так как $2xy=-1 < 0$, знаки $x$ и $y$ должны быть противоположными.

Корни: $w_0 = \sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$ и $w_1 = -\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$.

Точки на комплексной плоскости: $(\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}, -\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}})$ и $(-\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}, \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}})$.

Ответ: Корни: $w_{0,1}=\pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\right)$. Точки на комплексной плоскости: $\left(\pm\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}, \mp\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\right)$, где знаки у координат противоположны.

ж) Найдём корни степени 2 из числа $z=1+i\sqrt{3}$.

Представим $z$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |1+i\sqrt{3}| = \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$. Аргумент $\varphi = \arctan(\sqrt{3}/1) = \pi/3$.

$z = 2(\cos(\pi/3) + i\sin(\pi/3))$.

Корни: $w_k = \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi/3 + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{\pi/3 + 2\pi k}{2} \right) = \sqrt{2} \left( \cos(\frac{\pi}{6}+\pi k) + i\sin(\frac{\pi}{6}+\pi k) \right)$ для $k=0, 1$.

При $k=0$: $w_0 = \sqrt{2}(\cos(\pi/6) + i\sin(\pi/6)) = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

При $k=1$: $w_1 = -w_0 = -\frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Точки на комплексной плоскости: $(\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{6}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: Корни: $w_0=\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$, $w_1=-\frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$. Точки на комплексной плоскости: $(\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{6}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

з) Найдём корни степени 2 из числа $z=1-i\sqrt{3}$.

Представим $z$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |1-i\sqrt{3}| = 2$. Аргумент $\varphi = \arctan(-\sqrt{3}/1) = -\pi/3$.

$z = 2(\cos(-\pi/3) + i\sin(-\pi/3))$.

Корни: $w_k = \sqrt{2} \left( \cos\frac{-\pi/3 + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{-\pi/3 + 2\pi k}{2} \right) = \sqrt{2} \left( \cos(-\frac{\pi}{6}+\pi k) + i\sin(-\frac{\pi}{6}+\pi k) \right)$ для $k=0, 1$.

При $k=0$: $w_0 = \sqrt{2}(\cos(-\pi/6) + i\sin(-\pi/6)) = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

При $k=1$: $w_1 = -w_0 = -\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Точки на комплексной плоскости: $(\frac{\sqrt{6}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: Корни: $w_0=\frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$, $w_1=-\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$. Точки на комплексной плоскости: $(\frac{\sqrt{6}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.