Номер 17.24, страница 401 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 17.24, страница 401.
№17.24 (с. 401)
Условие. №17.24 (с. 401)
скриншот условия

17.24 Найдите корни степени 2 из комплексного числа и найдите на комплексной плоскости точки, их изображающие:
а) $1$;
б) $-1$;
в) $4i$;
г) $-4i$;
д) $1 + i$;
е) $1 - i$;
ж) $1 + i\sqrt{3}$;
з) $1 - i\sqrt{3}$.
Решение 1. №17.24 (с. 401)








Решение 2. №17.24 (с. 401)




Решение 4. №17.24 (с. 401)
Для нахождения корней степени 2 (квадратных корней) из комплексного числа $z$ можно использовать два основных метода: алгебраический и тригонометрический. В общем случае, если комплексное число представлено в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, то его корни $n$-ой степени находятся по формуле Муавра:
$w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1, \dots, n-1$.
Для квадратного корня $n=2$, и мы получаем два корня $w_0$ и $w_1$ (при $k=0$ и $k=1$).
а) Найдём корни степени 2 из числа $z=1$.
Это действительное число, его квадратные корни хорошо известны: $1$ и $-1$.
Используя формулу Муавра: представим $z=1$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |1| = 1$. Аргумент $\varphi = 0$.
$z = 1(\cos(0) + i\sin(0))$.
Корни: $w_k = \sqrt{1} \left( \cos\frac{0 + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{0 + 2\pi k}{2} \right) = \cos(\pi k) + i\sin(\pi k)$ для $k=0, 1$.
При $k=0$: $w_0 = \cos(0) + i\sin(0) = 1$.
При $k=1$: $w_1 = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1$.
Точки на комплексной плоскости, изображающие эти корни, имеют координаты $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.
Ответ: Корни: $w_0=1$, $w_1=-1$. Точки на комплексной плоскости: $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.
б) Найдём корни степени 2 из числа $z=-1$.
Представим $z=-1$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |-1| = 1$. Аргумент $\varphi = \pi$.
$z = 1(\cos(\pi) + i\sin(\pi))$.
Корни: $w_k = \sqrt{1} \left( \cos\frac{\pi + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{\pi + 2\pi k}{2} \right)$ для $k=0, 1$.
При $k=0$: $w_0 = \cos(\pi/2) + i\sin(\pi/2) = i$.
При $k=1$: $w_1 = \cos(3\pi/2) + i\sin(3\pi/2) = -i$.
Точки на комплексной плоскости, изображающие эти корни, имеют координаты $(0, 1)$ и $(0, -1)$.
Ответ: Корни: $w_0=i$, $w_1=-i$. Точки на комплексной плоскости: $(0, 1)$ и $(0, -1)$.
в) Найдём корни степени 2 из числа $z=4i$.
Представим $z=4i$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |4i| = 4$. Аргумент $\varphi = \pi/2$.
$z = 4(\cos(\pi/2) + i\sin(\pi/2))$.
Корни: $w_k = \sqrt{4} \left( \cos\frac{\pi/2 + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{\pi/2 + 2\pi k}{2} \right) = 2 \left( \cos(\frac{\pi}{4}+\pi k) + i\sin(\frac{\pi}{4}+\pi k) \right)$ для $k=0, 1$.
При $k=0$: $w_0 = 2(\cos(\pi/4) + i\sin(\pi/4)) = 2(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} + i\sqrt{2}$.
При $k=1$: $w_1 = 2(\cos(5\pi/4) + i\sin(5\pi/4)) = 2(-\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2} - i\sqrt{2}$.
Точки на комплексной плоскости: $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ и $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.
Ответ: Корни: $w_0=\sqrt{2} + i\sqrt{2}$, $w_1=-\sqrt{2} - i\sqrt{2}$. Точки на комплексной плоскости: $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ и $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.
г) Найдём корни степени 2 из числа $z=-4i$.
Представим $z=-4i$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |-4i| = 4$. Аргумент $\varphi = -\pi/2$ (или $3\pi/2$).
$z = 4(\cos(-\pi/2) + i\sin(-\pi/2))$.
Корни: $w_k = \sqrt{4} \left( \cos\frac{-\pi/2 + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{-\pi/2 + 2\pi k}{2} \right) = 2 \left( \cos(-\frac{\pi}{4}+\pi k) + i\sin(-\frac{\pi}{4}+\pi k) \right)$ для $k=0, 1$.
При $k=0$: $w_0 = 2(\cos(-\pi/4) + i\sin(-\pi/4)) = 2(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} - i\sqrt{2}$.
При $k=1$: $w_1 = 2(\cos(3\pi/4) + i\sin(3\pi/4)) = 2(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2} + i\sqrt{2}$.
Точки на комплексной плоскости: $(\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ и $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.
Ответ: Корни: $w_0=\sqrt{2} - i\sqrt{2}$, $w_1=-\sqrt{2} + i\sqrt{2}$. Точки на комплексной плоскости: $(\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ и $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.
д) Найдём корни степени 2 из числа $z=1+i$.
Воспользуемся алгебраическим методом. Пусть корень равен $w = x+iy$. Тогда $w^2 = (x+iy)^2 = x^2-y^2+2xyi = 1+i$.
Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему:
$\begin{cases} x^2 - y^2 = 1 \\ 2xy = 1 \end{cases}$
Также, $|w|^2 = |z|$, т.е. $x^2+y^2 = |1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.
Решим систему: $\begin{cases} x^2 - y^2 = 1 \\ x^2 + y^2 = \sqrt{2} \end{cases}$
Складывая уравнения, получаем $2x^2 = 1+\sqrt{2} \Rightarrow x^2 = \frac{1+\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \pm\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}$.
Вычитая первое уравнение из второго, получаем $2y^2 = \sqrt{2}-1 \Rightarrow y^2 = \frac{\sqrt{2}-1}{2} \Rightarrow y = \pm\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$.
Так как $2xy=1 > 0$, знаки $x$ и $y$ должны совпадать.
Корни: $w_0 = \sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$ и $w_1 = -\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$.
Точки на комплексной плоскости: $(\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}, \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}})$ и $(-\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}, -\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}})$.
Ответ: Корни: $w_{0,1}=\pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\right)$. Точки на комплексной плоскости: $\left(\pm\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}, \pm\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\right)$, где знаки у координат совпадают.
е) Найдём корни степени 2 из числа $z=1-i$.
Аналогично предыдущему пункту, $w^2 = 1-i$. $|z|=\sqrt{2}$.
Система уравнений: $\begin{cases} x^2 - y^2 = 1 \\ 2xy = -1 \\ x^2+y^2=\sqrt{2} \end{cases}$
Решения для $x^2$ и $y^2$ те же: $x^2 = \frac{1+\sqrt{2}}{2}$, $y^2 = \frac{\sqrt{2}-1}{2}$.
Так как $2xy=-1 < 0$, знаки $x$ и $y$ должны быть противоположными.
Корни: $w_0 = \sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$ и $w_1 = -\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$.
Точки на комплексной плоскости: $(\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}, -\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}})$ и $(-\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}, \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}})$.
Ответ: Корни: $w_{0,1}=\pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\right)$. Точки на комплексной плоскости: $\left(\pm\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}, \mp\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\right)$, где знаки у координат противоположны.
ж) Найдём корни степени 2 из числа $z=1+i\sqrt{3}$.
Представим $z$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |1+i\sqrt{3}| = \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$. Аргумент $\varphi = \arctan(\sqrt{3}/1) = \pi/3$.
$z = 2(\cos(\pi/3) + i\sin(\pi/3))$.
Корни: $w_k = \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi/3 + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{\pi/3 + 2\pi k}{2} \right) = \sqrt{2} \left( \cos(\frac{\pi}{6}+\pi k) + i\sin(\frac{\pi}{6}+\pi k) \right)$ для $k=0, 1$.
При $k=0$: $w_0 = \sqrt{2}(\cos(\pi/6) + i\sin(\pi/6)) = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.
При $k=1$: $w_1 = -w_0 = -\frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Точки на комплексной плоскости: $(\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{6}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: Корни: $w_0=\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$, $w_1=-\frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$. Точки на комплексной плоскости: $(\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{6}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.
з) Найдём корни степени 2 из числа $z=1-i\sqrt{3}$.
Представим $z$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |1-i\sqrt{3}| = 2$. Аргумент $\varphi = \arctan(-\sqrt{3}/1) = -\pi/3$.
$z = 2(\cos(-\pi/3) + i\sin(-\pi/3))$.
Корни: $w_k = \sqrt{2} \left( \cos\frac{-\pi/3 + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{-\pi/3 + 2\pi k}{2} \right) = \sqrt{2} \left( \cos(-\frac{\pi}{6}+\pi k) + i\sin(-\frac{\pi}{6}+\pi k) \right)$ для $k=0, 1$.
При $k=0$: $w_0 = \sqrt{2}(\cos(-\pi/6) + i\sin(-\pi/6)) = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.
При $k=1$: $w_1 = -w_0 = -\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Точки на комплексной плоскости: $(\frac{\sqrt{6}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: Корни: $w_0=\frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$, $w_1=-\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$. Точки на комплексной плоскости: $(\frac{\sqrt{6}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 17.24 расположенного на странице 401 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №17.24 (с. 401), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.