Номер 17.18, страница 396 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 17.18, страница 396.
№17.18 (с. 396)
Условие. №17.18 (с. 396)
скриншот условия

17.18 Выполните действия:
а) $(1+i\sqrt{3})^7 + (1-i\sqrt{3})^7$;
б) $(\sqrt{3}+i)^7 + (\sqrt{3}-i)^7$.
Решение 1. №17.18 (с. 396)


Решение 2. №17.18 (с. 396)

Решение 4. №17.18 (с. 396)
а)
Для вычисления данного выражения воспользуемся тригонометрической формой комплексного числа и формулой Муавра. Выражение представляет собой сумму двух комплексно-сопряженных чисел, возведенных в степень: $z^7 + (\bar{z})^7$, где $z = 1 + i\sqrt{3}$.
Известно, что $(\bar{z})^n = \overline{z^n}$. Тогда сумма $z^7 + (\bar{z})^7 = z^7 + \overline{z^7}$. Если $z^7 = a + bi$, то $\overline{z^7} = a - bi$, и их сумма равна $(a+bi) + (a-bi) = 2a = 2\text{Re}(z^7)$. Таким образом, задача сводится к нахождению действительной части числа $(1 + i\sqrt{3})^7$ и умножению ее на 2.
Представим число $z = 1 + i\sqrt{3}$ в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$.
Найдем модуль $r$ и аргумент $\varphi$:
Модуль: $r = |1 + i\sqrt{3}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.
Аргумент: $\cos\varphi = \frac{1}{r} = \frac{1}{2}$ и $\sin\varphi = \frac{\sqrt{3}}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим условиям соответствует угол $\varphi = \frac{\pi}{3}$.
Итак, $z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$.
По формуле Муавра $z^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$ найдем $z^7$:
$z^7 = (1 + i\sqrt{3})^7 = 2^7(\cos(7 \cdot \frac{\pi}{3}) + i\sin(7 \cdot \frac{\pi}{3})) = 128(\cos(\frac{7\pi}{3}) + i\sin(\frac{7\pi}{3}))$.
Действительная часть этого числа равна $\text{Re}(z^7) = 128\cos(\frac{7\pi}{3})$.
Так как $\frac{7\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$, то $\cos(\frac{7\pi}{3}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $\text{Re}(z^7) = 128 \cdot \frac{1}{2} = 64$.
Искомая сумма равна $2\text{Re}(z^7) = 2 \cdot 64 = 128$.
Ответ: 128
б)
Данное выражение $(\sqrt{3} + i)^7 + (\sqrt{3} - i)^7$ также является суммой двух комплексно-сопряженных чисел в степени. Пусть $z = \sqrt{3} + i$. Тогда выражение равно $z^7 + (\bar{z})^7 = 2\text{Re}(z^7)$.
Представим число $z = \sqrt{3} + i$ в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$.
Найдем модуль $r$ и аргумент $\varphi$:
Модуль: $r = |\sqrt{3} + i| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$.
Аргумент: $\cos\varphi = \frac{\sqrt{3}}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\varphi = \frac{1}{r} = \frac{1}{2}$. Этим условиям соответствует угол $\varphi = \frac{\pi}{6}$.
Итак, $z = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}))$.
По формуле Муавра найдем $z^7$:
$z^7 = (\sqrt{3} + i)^7 = 2^7(\cos(7 \cdot \frac{\pi}{6}) + i\sin(7 \cdot \frac{\pi}{6})) = 128(\cos(\frac{7\pi}{6}) + i\sin(\frac{7\pi}{6}))$.
Действительная часть этого числа равна $\text{Re}(z^7) = 128\cos(\frac{7\pi}{6})$.
Так как $\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$, то $\cos(\frac{7\pi}{6}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, $\text{Re}(z^7) = 128 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -64\sqrt{3}$.
Искомая сумма равна $2\text{Re}(z^7) = 2 \cdot (-64\sqrt{3}) = -128\sqrt{3}$.
Ответ: $-128\sqrt{3}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 17.18 расположенного на странице 396 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №17.18 (с. 396), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.