Номер 17.18, страница 396 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел - номер 17.18, страница 396.

Условие.

17.18 Выполните действия:

а) $(1+i\sqrt{3})^7 + (1-i\sqrt{3})^7$;

б) $(\sqrt{3}+i)^7 + (\sqrt{3}-i)^7$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Для вычисления данного выражения воспользуемся тригонометрической формой комплексного числа и формулой Муавра. Выражение представляет собой сумму двух комплексно-сопряженных чисел, возведенных в степень: $z^7 + (\bar{z})^7$, где $z = 1 + i\sqrt{3}$.

Известно, что $(\bar{z})^n = \overline{z^n}$. Тогда сумма $z^7 + (\bar{z})^7 = z^7 + \overline{z^7}$. Если $z^7 = a + bi$, то $\overline{z^7} = a - bi$, и их сумма равна $(a+bi) + (a-bi) = 2a = 2\text{Re}(z^7)$. Таким образом, задача сводится к нахождению действительной части числа $(1 + i\sqrt{3})^7$ и умножению ее на 2.

Представим число $z = 1 + i\sqrt{3}$ в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$.

Найдем модуль $r$ и аргумент $\varphi$:

Модуль: $r = |1 + i\sqrt{3}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.

Аргумент: $\cos\varphi = \frac{1}{r} = \frac{1}{2}$ и $\sin\varphi = \frac{\sqrt{3}}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим условиям соответствует угол $\varphi = \frac{\pi}{3}$.

Итак, $z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$.

По формуле Муавра $z^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$ найдем $z^7$:

$z^7 = (1 + i\sqrt{3})^7 = 2^7(\cos(7 \cdot \frac{\pi}{3}) + i\sin(7 \cdot \frac{\pi}{3})) = 128(\cos(\frac{7\pi}{3}) + i\sin(\frac{7\pi}{3}))$.

Действительная часть этого числа равна $\text{Re}(z^7) = 128\cos(\frac{7\pi}{3})$.

Так как $\frac{7\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$, то $\cos(\frac{7\pi}{3}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $\text{Re}(z^7) = 128 \cdot \frac{1}{2} = 64$.

Искомая сумма равна $2\text{Re}(z^7) = 2 \cdot 64 = 128$.

Ответ: 128

б)

Данное выражение $(\sqrt{3} + i)^7 + (\sqrt{3} - i)^7$ также является суммой двух комплексно-сопряженных чисел в степени. Пусть $z = \sqrt{3} + i$. Тогда выражение равно $z^7 + (\bar{z})^7 = 2\text{Re}(z^7)$.

Представим число $z = \sqrt{3} + i$ в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$.

Найдем модуль $r$ и аргумент $\varphi$:

Модуль: $r = |\sqrt{3} + i| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$.

Аргумент: $\cos\varphi = \frac{\sqrt{3}}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\varphi = \frac{1}{r} = \frac{1}{2}$. Этим условиям соответствует угол $\varphi = \frac{\pi}{6}$.

Итак, $z = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}))$.

По формуле Муавра найдем $z^7$:

$z^7 = (\sqrt{3} + i)^7 = 2^7(\cos(7 \cdot \frac{\pi}{6}) + i\sin(7 \cdot \frac{\pi}{6})) = 128(\cos(\frac{7\pi}{6}) + i\sin(\frac{7\pi}{6}))$.

Действительная часть этого числа равна $\text{Re}(z^7) = 128\cos(\frac{7\pi}{6})$.

Так как $\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$, то $\cos(\frac{7\pi}{6}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $\text{Re}(z^7) = 128 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -64\sqrt{3}$.

Искомая сумма равна $2\text{Re}(z^7) = 2 \cdot (-64\sqrt{3}) = -128\sqrt{3}$.

Ответ: $-128\sqrt{3}$