Номер 17.17, страница 396 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 17.17, страница 396.

Условие.

17.17 Выразите через $\sin x$ и $\cos x$:

a) $\sin 4x$ и $\cos 4x$;

б) $\sin 5x$ и $\cos 5x$;

в) $\sin 6x$ и $\cos 6x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a) sin 4x и cos 4x

Для выражения $\sin 4x$ и $\cos 4x$ через $\sin x$ и $\cos x$ воспользуемся формулами двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ и $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Сначала выразим $\sin 4x$, представив $4x$ как $2 \cdot 2x$:

$\sin 4x = \sin(2 \cdot 2x) = 2\sin(2x)\cos(2x)$.

Теперь подставим формулы двойного угла для $\sin(2x)$ и $\cos(2x)$:

$\sin(2x) = 2\sin x \cos x$

$\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$

Подставляя эти выражения, получаем:

$\sin 4x = 2(2\sin x \cos x)(\cos^2 x - \sin^2 x) = 4\sin x \cos x(\cos^2 x - \sin^2 x) = 4\sin x \cos^3 x - 4\sin^3 x \cos x$.

Теперь выразим $\cos 4x$, также представив $4x$ как $2 \cdot 2x$:

$\cos 4x = \cos(2 \cdot 2x) = \cos^2(2x) - \sin^2(2x)$.

Подставим формулы для $\sin(2x)$ и $\cos(2x)$:

$\cos 4x = (\cos^2 x - \sin^2 x)^2 - (2\sin x \cos x)^2$.

Раскроем скобки:

$\cos 4x = (\cos^4 x - 2\sin^2 x \cos^2 x + \sin^4 x) - 4\sin^2 x \cos^2 x$.

Приведем подобные слагаемые:

$\cos 4x = \cos^4 x - 6\sin^2 x \cos^2 x + \sin^4 x$.

Ответ: $\sin 4x = 4\sin x \cos^3 x - 4\sin^3 x \cos x$; $\cos 4x = \cos^4 x - 6\sin^2 x \cos^2 x + \sin^4 x$.

б) sin 5x и cos 5x

Для выражения $\sin 5x$ и $\cos 5x$ представим $5x$ как сумму $3x + 2x$ и воспользуемся формулами синуса и косинуса суммы: $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ и $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.

Предварительно найдем выражения для $\sin 3x$ и $\cos 3x$ через $\sin x$ и $\cos x$ (формулы тройного угла):

$\sin 3x = \sin(2x+x) = \sin(2x)\cos x + \cos(2x)\sin x = (2\sin x \cos x)\cos x + (\cos^2 x - \sin^2 x)\sin x = 2\sin x \cos^2 x + \sin x \cos^2 x - \sin^3 x = 3\sin x \cos^2 x - \sin^3 x$.

$\cos 3x = \cos(2x+x) = \cos(2x)\cos x - \sin(2x)\sin x = (\cos^2 x - \sin^2 x)\cos x - (2\sin x \cos x)\sin x = \cos^3 x - \sin^2 x \cos x - 2\sin^2 x \cos x = \cos^3 x - 3\sin^2 x \cos x$.

Теперь выразим $\sin 5x$:

$\sin 5x = \sin(3x+2x) = \sin(3x)\cos(2x) + \cos(3x)\sin(2x)$.

Подставляем полученные выражения:

$\sin 5x = (3\sin x \cos^2 x - \sin^3 x)(\cos^2 x - \sin^2 x) + (\cos^3 x - 3\sin^2 x \cos x)(2\sin x \cos x)$.

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$\sin 5x = (3\sin x \cos^4 x - 3\sin^3 x \cos^2 x - \sin^3 x \cos^2 x + \sin^5 x) + (2\sin x \cos^4 x - 6\sin^3 x \cos^2 x)$.

$\sin 5x = 5\sin x \cos^4 x - 10\sin^3 x \cos^2 x + \sin^5 x$.

Теперь выразим $\cos 5x$:

$\cos 5x = \cos(3x+2x) = \cos(3x)\cos(2x) - \sin(3x)\sin(2x)$.

Подставляем выражения:

$\cos 5x = (\cos^3 x - 3\sin^2 x \cos x)(\cos^2 x - \sin^2 x) - (3\sin x \cos^2 x - \sin^3 x)(2\sin x \cos x)$.

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$\cos 5x = (\cos^5 x - \cos^3 x \sin^2 x - 3\sin^2 x \cos^3 x + 3\sin^4 x \cos x) - (6\sin^2 x \cos^3 x - 2\sin^4 x \cos x)$.

$\cos 5x = \cos^5 x - 4\sin^2 x \cos^3 x + 3\sin^4 x \cos x - 6\sin^2 x \cos^3 x + 2\sin^4 x \cos x$.

$\cos 5x = \cos^5 x - 10\sin^2 x \cos^3 x + 5\sin^4 x \cos x$.

Ответ: $\sin 5x = 5\sin x \cos^4 x - 10\sin^3 x \cos^2 x + \sin^5 x$; $\cos 5x = \cos^5 x - 10\sin^2 x \cos^3 x + 5\sin^4 x \cos x$.

в) sin 6x и cos 6x

Для выражения $\sin 6x$ и $\cos 6x$ воспользуемся формулами двойного угла, представив $6x$ как $2 \cdot 3x$.

$\sin 6x = \sin(2 \cdot 3x) = 2\sin(3x)\cos(3x)$.

Воспользуемся выражениями для $\sin 3x$ и $\cos 3x$ из предыдущего пункта:

$\sin 3x = 3\sin x \cos^2 x - \sin^3 x$

$\cos 3x = \cos^3 x - 3\sin^2 x \cos x$

Подставляем их в формулу для $\sin 6x$:

$\sin 6x = 2(3\sin x \cos^2 x - \sin^3 x)(\cos^3 x - 3\sin^2 x \cos x)$.

Раскроем скобки:

$\sin 6x = 2(3\sin x \cos^5 x - 9\sin^3 x \cos^3 x - \sin^3 x \cos^3 x + 3\sin^5 x \cos x)$.

$\sin 6x = 2(3\sin x \cos^5 x - 10\sin^3 x \cos^3 x + 3\sin^5 x \cos x) = 6\sin x \cos^5 x - 20\sin^3 x \cos^3 x + 6\sin^5 x \cos x$.

Теперь выразим $\cos 6x$:

$\cos 6x = \cos(2 \cdot 3x) = \cos^2(3x) - \sin^2(3x)$.

Подставляем выражения для $\sin 3x$ и $\cos 3x$:

$\cos 6x = (\cos^3 x - 3\sin^2 x \cos x)^2 - (3\sin x \cos^2 x - \sin^3 x)^2$.

Раскроем квадраты:

$(\cos^3 x - 3\sin^2 x \cos x)^2 = \cos^6 x - 6\sin^2 x \cos^4 x + 9\sin^4 x \cos^2 x$.

$(3\sin x \cos^2 x - \sin^3 x)^2 = 9\sin^2 x \cos^4 x - 6\sin^4 x \cos^2 x + \sin^6 x$.

Вычтем второе из первого:

$\cos 6x = (\cos^6 x - 6\sin^2 x \cos^4 x + 9\sin^4 x \cos^2 x) - (9\sin^2 x \cos^4 x - 6\sin^4 x \cos^2 x + \sin^6 x)$.

$\cos 6x = \cos^6 x - 6\sin^2 x \cos^4 x + 9\sin^4 x \cos^2 x - 9\sin^2 x \cos^4 x + 6\sin^4 x \cos^2 x - \sin^6 x$.

$\cos 6x = \cos^6 x - 15\sin^2 x \cos^4 x + 15\sin^4 x \cos^2 x - \sin^6 x$.

Ответ: $\sin 6x = 6\sin x \cos^5 x - 20\sin^3 x \cos^3 x + 6\sin^5 x \cos x$; $\cos 6x = \cos^6 x - 15\sin^2 x \cos^4 x + 15\sin^4 x \cos^2 x - \sin^6 x$.