Номер 17.21, страница 396 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 17.21, страница 396.
№17.21 (с. 396)
Условие. №17.21 (с. 396)
скриншот условия

17.21 a) Найдите множество точек $z$ комплексной плоскости, удовлетворяющих условию $z \cdot \bar{z} = (2 + i)^2 + \frac{17}{1 + 4i}$. Среди этих точек найдите такие, для которых выполняется равенство $|z| = |z - 2i|$, и запишите числа, соответствующие этим точкам, в тригонометрической форме.
б) Найдите множество точек $z$ комплексной плоскости, удовлетворяющих условию $z \cdot \bar{z} = (4 - i)^2 + \frac{65}{1 - 8i}$. Среди этих точек найдите такие, для которых выполняется равенство $|z| = |z + 4|$, и запишите числа, соответствующие этим точкам, в тригонометрической форме.
Решение 1. №17.21 (с. 396)


Решение 2. №17.21 (с. 396)


Решение 3. №17.21 (с. 396)


Решение 4. №17.21 (с. 396)
а)
Сначала найдем множество точек, удовлетворяющих первому условию: $z \cdot \bar{z} = (2 + i)^2 + \frac{17}{1 + 4i}$.
Известно, что для комплексного числа $z = x + yi$ произведение $z \cdot \bar{z} = (x+yi)(x-yi) = x^2 + y^2 = |z|^2$.
Преобразуем правую часть равенства:
1. $(2 + i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot i + i^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i$.
2. $\frac{17}{1 + 4i} = \frac{17(1 - 4i)}{(1 + 4i)(1 - 4i)} = \frac{17(1 - 4i)}{1^2 - (4i)^2} = \frac{17(1 - 4i)}{1 - 16i^2} = \frac{17(1 - 4i)}{1 + 16} = 1 - 4i$.
Подставим полученные значения в исходное уравнение:
$|z|^2 = (3 + 4i) + (1 - 4i) = 4$.
Таким образом, $|z| = 2$. Это уравнение описывает на комплексной плоскости окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=2$. В координатной форме: $x^2 + y^2 = 4$.
Теперь рассмотрим второе условие: $|z| = |z - 2i|$.
Это равенство означает, что расстояние от точки $z$ до начала координат (число $0$) равно расстоянию от точки $z$ до точки, соответствующей числу $2i$. Геометрически, это множество точек является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точки $0$ и $2i$ (т.е. точки $(0,0)$ и $(0,2)$). Этот перпендикуляр — горизонтальная прямая $y=1$.
Для проверки решим алгебраически. Пусть $z = x + yi$:
$|x+yi| = |x+yi-2i| = |x+(y-2)i|$.
$\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{x^2+(y-2)^2}$.
Возведем обе части в квадрат: $x^2+y^2 = x^2+(y-2)^2 \Rightarrow y^2 = y^2-4y+4 \Rightarrow 4y=4 \Rightarrow y=1$.
Чтобы найти искомые точки, нужно найти точки пересечения окружности $x^2 + y^2 = 4$ и прямой $y=1$.
Подставим $y=1$ в уравнение окружности: $x^2 + 1^2 = 4 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}$.
Получаем два комплексных числа: $z_1 = \sqrt{3} + i$ и $z_2 = -\sqrt{3} + i$.
Запишем эти числа в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$. Для обоих чисел модуль $r = |z| = 2$.
Для $z_1 = \sqrt{3} + i$ (первая четверть): $\cos\varphi_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\varphi_1 = \frac{1}{2}$. Отсюда $\varphi_1 = \frac{\pi}{6}$.
Для $z_2 = -\sqrt{3} + i$ (вторая четверть): $\cos\varphi_2 = \frac{-\sqrt{3}}{2}$, $\sin\varphi_2 = \frac{1}{2}$. Отсюда $\varphi_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Ответ: $z_1 = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$, $z_2 = 2(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6})$.
б)
Сначала найдем множество точек, удовлетворяющих первому условию: $z \cdot \bar{z} = (4 - i)^2 + \frac{65}{1 - 8i}$.
Как и в предыдущем пункте, $z \cdot \bar{z} = |z|^2$.
Преобразуем правую часть равенства:
1. $(4 - i)^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot i + i^2 = 16 - 8i - 1 = 15 - 8i$.
2. $\frac{65}{1 - 8i} = \frac{65(1 + 8i)}{(1 - 8i)(1 + 8i)} = \frac{65(1 + 8i)}{1^2 - (8i)^2} = \frac{65(1 + 8i)}{1 - 64i^2} = \frac{65(1 + 8i)}{1 + 64} = 1 + 8i$.
Подставим полученные значения в исходное уравнение:
$|z|^2 = (15 - 8i) + (1 + 8i) = 16$.
Таким образом, $|z| = 4$. Это уравнение описывает на комплексной плоскости окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=4$. В координатной форме: $x^2 + y^2 = 16$.
Теперь рассмотрим второе условие: $|z| = |z + 4|$.
Это равенство означает, что расстояние от точки $z$ до начала координат (число $0$) равно расстоянию от точки $z$ до точки, соответствующей числу $-4$. Геометрически, это множество точек является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точки $0$ и $-4$ (т.е. точки $(0,0)$ и $(-4,0)$). Этот перпендикуляр — вертикальная прямая $x=-2$.
Для проверки решим алгебраически. Пусть $z = x + yi$:
$|x+yi| = |x+yi+4| = |(x+4)+yi|$.
$\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{(x+4)^2+y^2}$.
Возведем обе части в квадрат: $x^2+y^2 = (x+4)^2+y^2 \Rightarrow x^2 = x^2+8x+16 \Rightarrow 8x=-16 \Rightarrow x=-2$.
Чтобы найти искомые точки, нужно найти точки пересечения окружности $x^2 + y^2 = 16$ и прямой $x=-2$.
Подставим $x=-2$ в уравнение окружности: $(-2)^2 + y^2 = 16 \Rightarrow 4 + y^2 = 16 \Rightarrow y^2 = 12 \Rightarrow y = \pm\sqrt{12} = \pm2\sqrt{3}$.
Получаем два комплексных числа: $z_1 = -2 + 2\sqrt{3}i$ и $z_2 = -2 - 2\sqrt{3}i$.
Запишем эти числа в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$. Для обоих чисел модуль $r = |z| = 4$.
Для $z_1 = -2 + 2\sqrt{3}i$ (вторая четверть): $\cos\varphi_1 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$, $\sin\varphi_1 = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Отсюда $\varphi_1 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Для $z_2 = -2 - 2\sqrt{3}i$ (третья четверть): $\cos\varphi_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$, $\sin\varphi_2 = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Отсюда $\varphi_2 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.
Ответ: $z_1 = 4(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3})$, $z_2 = 4(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3})$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 17.21 расположенного на странице 396 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №17.21 (с. 396), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.