Номер 17.21, страница 396 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел - номер 17.21, страница 396.

Условие.

17.21 a) Найдите множество точек $z$ комплексной плоскости, удовлетворяющих условию $z \cdot \bar{z} = (2 + i)^2 + \frac{17}{1 + 4i}$. Среди этих точек найдите такие, для которых выполняется равенство $|z| = |z - 2i|$, и запишите числа, соответствующие этим точкам, в тригонометрической форме.

б) Найдите множество точек $z$ комплексной плоскости, удовлетворяющих условию $z \cdot \bar{z} = (4 - i)^2 + \frac{65}{1 - 8i}$. Среди этих точек найдите такие, для которых выполняется равенство $|z| = |z + 4|$, и запишите числа, соответствующие этим точкам, в тригонометрической форме.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Сначала найдем множество точек, удовлетворяющих первому условию: $z \cdot \bar{z} = (2 + i)^2 + \frac{17}{1 + 4i}$.

Известно, что для комплексного числа $z = x + yi$ произведение $z \cdot \bar{z} = (x+yi)(x-yi) = x^2 + y^2 = |z|^2$.

Преобразуем правую часть равенства:

1. $(2 + i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot i + i^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i$.

2. $\frac{17}{1 + 4i} = \frac{17(1 - 4i)}{(1 + 4i)(1 - 4i)} = \frac{17(1 - 4i)}{1^2 - (4i)^2} = \frac{17(1 - 4i)}{1 - 16i^2} = \frac{17(1 - 4i)}{1 + 16} = 1 - 4i$.

Подставим полученные значения в исходное уравнение:

$|z|^2 = (3 + 4i) + (1 - 4i) = 4$.

Таким образом, $|z| = 2$. Это уравнение описывает на комплексной плоскости окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=2$. В координатной форме: $x^2 + y^2 = 4$.

Теперь рассмотрим второе условие: $|z| = |z - 2i|$.

Это равенство означает, что расстояние от точки $z$ до начала координат (число $0$) равно расстоянию от точки $z$ до точки, соответствующей числу $2i$. Геометрически, это множество точек является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точки $0$ и $2i$ (т.е. точки $(0,0)$ и $(0,2)$). Этот перпендикуляр — горизонтальная прямая $y=1$.

Для проверки решим алгебраически. Пусть $z = x + yi$:

$|x+yi| = |x+yi-2i| = |x+(y-2)i|$.

$\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{x^2+(y-2)^2}$.

Возведем обе части в квадрат: $x^2+y^2 = x^2+(y-2)^2 \Rightarrow y^2 = y^2-4y+4 \Rightarrow 4y=4 \Rightarrow y=1$.

Чтобы найти искомые точки, нужно найти точки пересечения окружности $x^2 + y^2 = 4$ и прямой $y=1$.

Подставим $y=1$ в уравнение окружности: $x^2 + 1^2 = 4 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}$.

Получаем два комплексных числа: $z_1 = \sqrt{3} + i$ и $z_2 = -\sqrt{3} + i$.

Запишем эти числа в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$. Для обоих чисел модуль $r = |z| = 2$.

Для $z_1 = \sqrt{3} + i$ (первая четверть): $\cos\varphi_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\varphi_1 = \frac{1}{2}$. Отсюда $\varphi_1 = \frac{\pi}{6}$.

Для $z_2 = -\sqrt{3} + i$ (вторая четверть): $\cos\varphi_2 = \frac{-\sqrt{3}}{2}$, $\sin\varphi_2 = \frac{1}{2}$. Отсюда $\varphi_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Ответ: $z_1 = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$, $z_2 = 2(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6})$.

б)

Сначала найдем множество точек, удовлетворяющих первому условию: $z \cdot \bar{z} = (4 - i)^2 + \frac{65}{1 - 8i}$.

Как и в предыдущем пункте, $z \cdot \bar{z} = |z|^2$.

Преобразуем правую часть равенства:

1. $(4 - i)^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot i + i^2 = 16 - 8i - 1 = 15 - 8i$.

2. $\frac{65}{1 - 8i} = \frac{65(1 + 8i)}{(1 - 8i)(1 + 8i)} = \frac{65(1 + 8i)}{1^2 - (8i)^2} = \frac{65(1 + 8i)}{1 - 64i^2} = \frac{65(1 + 8i)}{1 + 64} = 1 + 8i$.

Подставим полученные значения в исходное уравнение:

$|z|^2 = (15 - 8i) + (1 + 8i) = 16$.

Таким образом, $|z| = 4$. Это уравнение описывает на комплексной плоскости окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=4$. В координатной форме: $x^2 + y^2 = 16$.

Теперь рассмотрим второе условие: $|z| = |z + 4|$.

Это равенство означает, что расстояние от точки $z$ до начала координат (число $0$) равно расстоянию от точки $z$ до точки, соответствующей числу $-4$. Геометрически, это множество точек является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точки $0$ и $-4$ (т.е. точки $(0,0)$ и $(-4,0)$). Этот перпендикуляр — вертикальная прямая $x=-2$.

Для проверки решим алгебраически. Пусть $z = x + yi$:

$|x+yi| = |x+yi+4| = |(x+4)+yi|$.

$\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{(x+4)^2+y^2}$.

Возведем обе части в квадрат: $x^2+y^2 = (x+4)^2+y^2 \Rightarrow x^2 = x^2+8x+16 \Rightarrow 8x=-16 \Rightarrow x=-2$.

Чтобы найти искомые точки, нужно найти точки пересечения окружности $x^2 + y^2 = 16$ и прямой $x=-2$.

Подставим $x=-2$ в уравнение окружности: $(-2)^2 + y^2 = 16 \Rightarrow 4 + y^2 = 16 \Rightarrow y^2 = 12 \Rightarrow y = \pm\sqrt{12} = \pm2\sqrt{3}$.

Получаем два комплексных числа: $z_1 = -2 + 2\sqrt{3}i$ и $z_2 = -2 - 2\sqrt{3}i$.

Запишем эти числа в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$. Для обоих чисел модуль $r = |z| = 4$.

Для $z_1 = -2 + 2\sqrt{3}i$ (вторая четверть): $\cos\varphi_1 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$, $\sin\varphi_1 = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Отсюда $\varphi_1 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Для $z_2 = -2 - 2\sqrt{3}i$ (третья четверть): $\cos\varphi_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$, $\sin\varphi_2 = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Отсюда $\varphi_2 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

Ответ: $z_1 = 4(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3})$, $z_2 = 4(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3})$.