Номер 17.15, страница 395 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 17.15, страница 395.

Условие.

17.15 Возведите в степень с показателем $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ комплексное число $z$ и найдите на комплексной плоскости точки, соответствующие полученным числам:

а) $z = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$;

б) $z = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$;

в) $z = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$;

г) $z = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$;

д) $z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$;

е) $z = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи представим комплексные числа в тригонометрической форме $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r = |z|$ - модуль числа, а $\varphi = \arg(z)$ - его аргумент. Возведение в степень $n$ производится по формуле Муавра: $z^n = r^n(\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi))$.

Во всех предоставленных случаях модуль $r = \sqrt{(\pm \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\pm \frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = 1$ или $r = \sqrt{(\pm \frac{1}{2})^2 + (\pm \frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1$.

Следовательно, формула Муавра упрощается до $z^n = \cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi)$. Это означает, что все полученные точки будут лежать на единичной окружности на комплексной плоскости.

а)

Дано комплексное число $z = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$.

Находим аргумент $\varphi$: $\cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \varphi = \frac{1}{2}$. Следовательно, $\varphi = \frac{\pi}{6}$.

Тригонометрическая форма: $z = \cos(\frac{\pi}{6}) + i \sin(\frac{\pi}{6})$.

Возводим в степени $n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ по формуле $z^n = \cos(\frac{n\pi}{6}) + i \sin(\frac{n\pi}{6})$:

• $n=1: z^1 = \cos(\frac{\pi}{6}) + i \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$
• $n=2: z^2 = \cos(\frac{2\pi}{6}) + i \sin(\frac{2\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $n=3: z^3 = \cos(\frac{3\pi}{6}) + i \sin(\frac{3\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{2}) + i \sin(\frac{\pi}{2}) = i$
• $n=4: z^4 = \cos(\frac{4\pi}{6}) + i \sin(\frac{4\pi}{6}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) + i \sin(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $n=5: z^5 = \cos(\frac{5\pi}{6}) + i \sin(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$
• $n=6: z^6 = \cos(\frac{6\pi}{6}) + i \sin(\frac{6\pi}{6}) = \cos(\pi) + i \sin(\pi) = -1$
• $n=7: z^7 = \cos(\frac{7\pi}{6}) + i \sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$

Точки на комплексной плоскости имеют координаты: $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(0, 1)$, $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$, $(-1, 0)$, $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$. Эти точки являются вершинами правильного двенадцатиугольника, вписанного в единичную окружность.

Ответ: $z^1=\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$, $z^2=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z^3=i$, $z^4=-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z^5=-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$, $z^6=-1$, $z^7=-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$.

б)

Дано комплексное число $z = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$.

Находим аргумент $\varphi$: $\cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \varphi = -\frac{1}{2}$. Следовательно, $\varphi = -\frac{\pi}{6}$.

Тригонометрическая форма: $z = \cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6})$.

Возводим в степени $n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ по формуле $z^n = \cos(-\frac{n\pi}{6}) + i \sin(-\frac{n\pi}{6})$:

• $n=1: z^1 = \cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$
• $n=2: z^2 = \cos(-\frac{2\pi}{6}) + i \sin(-\frac{2\pi}{6}) = \cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $n=3: z^3 = \cos(-\frac{3\pi}{6}) + i \sin(-\frac{3\pi}{6}) = \cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}) = -i$
• $n=4: z^4 = \cos(-\frac{4\pi}{6}) + i \sin(-\frac{4\pi}{6}) = \cos(-\frac{2\pi}{3}) + i \sin(-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $n=5: z^5 = \cos(-\frac{5\pi}{6}) + i \sin(-\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$
• $n=6: z^6 = \cos(-\frac{6\pi}{6}) + i \sin(-\frac{6\pi}{6}) = \cos(-\pi) + i \sin(-\pi) = -1$
• $n=7: z^7 = \cos(-\frac{7\pi}{6}) + i \sin(-\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$

Точки на комплексной плоскости: $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(0, -1)$, $(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$, $(-1, 0)$, $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.

Ответ: $z^1=\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$, $z^2=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z^3=-i$, $z^4=-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z^5=-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$, $z^6=-1$, $z^7=-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$.

в)

Дано комплексное число $z = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$.

Находим аргумент $\varphi$: $\cos \varphi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \varphi = \frac{1}{2}$. Следовательно, $\varphi = \frac{5\pi}{6}$.

Тригонометрическая форма: $z = \cos(\frac{5\pi}{6}) + i \sin(\frac{5\pi}{6})$.

Возводим в степени $n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ по формуле $z^n = \cos(\frac{5n\pi}{6}) + i \sin(\frac{5n\pi}{6})$:

• $n=1: z^1 = \cos(\frac{5\pi}{6}) + i \sin(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$
• $n=2: z^2 = \cos(\frac{10\pi}{6}) + i \sin(\frac{10\pi}{6}) = \cos(\frac{5\pi}{3}) + i \sin(\frac{5\pi}{3}) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $n=3: z^3 = \cos(\frac{15\pi}{6}) + i \sin(\frac{15\pi}{6}) = \cos(\frac{5\pi}{2}) + i \sin(\frac{5\pi}{2}) = i$
• $n=4: z^4 = \cos(\frac{20\pi}{6}) + i \sin(\frac{20\pi}{6}) = \cos(\frac{10\pi}{3}) + i \sin(\frac{10\pi}{3}) = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $n=5: z^5 = \cos(\frac{25\pi}{6}) + i \sin(\frac{25\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) + i \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$
• $n=6: z^6 = \cos(\frac{30\pi}{6}) + i \sin(\frac{30\pi}{6}) = \cos(5\pi) + i \sin(5\pi) = -1$
• $n=7: z^7 = \cos(\frac{35\pi}{6}) + i \sin(\frac{35\pi}{6}) = \cos(\frac{11\pi}{6}) + i \sin(\frac{11\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$

Точки на комплексной плоскости: $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(0, 1)$, $(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$, $(-1, 0)$, $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$.

Ответ: $z^1=-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$, $z^2=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z^3=i$, $z^4=-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z^5=\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$, $z^6=-1$, $z^7=\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$.

г)

Дано комплексное число $z = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$.

Находим аргумент $\varphi$: $\cos \varphi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \varphi = -\frac{1}{2}$. Следовательно, $\varphi = \frac{7\pi}{6}$.

Тригонометрическая форма: $z = \cos(\frac{7\pi}{6}) + i \sin(\frac{7\pi}{6})$.

Возводим в степени $n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ по формуле $z^n = \cos(\frac{7n\pi}{6}) + i \sin(\frac{7n\pi}{6})$:

• $n=1: z^1 = \cos(\frac{7\pi}{6}) + i \sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$
• $n=2: z^2 = \cos(\frac{14\pi}{6}) + i \sin(\frac{14\pi}{6}) = \cos(\frac{7\pi}{3}) + i \sin(\frac{7\pi}{3}) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $n=3: z^3 = \cos(\frac{21\pi}{6}) + i \sin(\frac{21\pi}{6}) = \cos(\frac{7\pi}{2}) + i \sin(\frac{7\pi}{2}) = -i$
• $n=4: z^4 = \cos(\frac{28\pi}{6}) + i \sin(\frac{28\pi}{6}) = \cos(\frac{14\pi}{3}) + i \sin(\frac{14\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $n=5: z^5 = \cos(\frac{35\pi}{6}) + i \sin(\frac{35\pi}{6}) = \cos(\frac{11\pi}{6}) + i \sin(\frac{11\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$
• $n=6: z^6 = \cos(\frac{42\pi}{6}) + i \sin(\frac{42\pi}{6}) = \cos(7\pi) + i \sin(7\pi) = -1$
• $n=7: z^7 = \cos(\frac{49\pi}{6}) + i \sin(\frac{49\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) + i \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$

Точки на комплексной плоскости: $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(0, -1)$, $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$, $(-1, 0)$, $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.

Ответ: $z^1=-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$, $z^2=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z^3=-i$, $z^4=-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z^5=\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$, $z^6=-1$, $z^7=\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$.

д)

Дано комплексное число $z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$.

Находим аргумент $\varphi$: $\cos \varphi = \frac{1}{2}$, $\sin \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $\varphi = \frac{\pi}{3}$.

Тригонометрическая форма: $z = \cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3})$.

Возводим в степени $n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ по формуле $z^n = \cos(\frac{n\pi}{3}) + i \sin(\frac{n\pi}{3})$:

• $n=1: z^1 = \cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $n=2: z^2 = \cos(\frac{2\pi}{3}) + i \sin(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $n=3: z^3 = \cos(\pi) + i \sin(\pi) = -1$
• $n=4: z^4 = \cos(\frac{4\pi}{3}) + i \sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $n=5: z^5 = \cos(\frac{5\pi}{3}) + i \sin(\frac{5\pi}{3}) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $n=6: z^6 = \cos(2\pi) + i \sin(2\pi) = 1$
• $n=7: z^7 = \cos(\frac{7\pi}{3}) + i \sin(\frac{7\pi}{3}) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$

Точки на комплексной плоскости: $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-1, 0)$, $(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(1, 0)$. Эти точки являются вершинами правильного шестиугольника, вписанного в единичную окружность. $z^7$ совпадает с $z^1$.

Ответ: $z^1=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z^2=-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z^3=-1$, $z^4=-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z^5=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z^6=1$, $z^7=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$.

е)

Дано комплексное число $z = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$.

Находим аргумент $\varphi$: $\cos \varphi = \frac{1}{2}$, $\sin \varphi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $\varphi = -\frac{\pi}{3}$.

Тригонометрическая форма: $z = \cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3})$.

Возводим в степени $n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ по формуле $z^n = \cos(-\frac{n\pi}{3}) + i \sin(-\frac{n\pi}{3})$:

• $n=1: z^1 = \cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $n=2: z^2 = \cos(-\frac{2\pi}{3}) + i \sin(-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $n=3: z^3 = \cos(-\pi) + i \sin(-\pi) = -1$
• $n=4: z^4 = \cos(-\frac{4\pi}{3}) + i \sin(-\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $n=5: z^5 = \cos(-\frac{5\pi}{3}) + i \sin(-\frac{5\pi}{3}) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $n=6: z^6 = \cos(-2\pi) + i \sin(-2\pi) = 1$
• $n=7: z^7 = \cos(-\frac{7\pi}{3}) + i \sin(-\frac{7\pi}{3}) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

Точки на комплексной плоскости: $(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-1, 0)$, $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(1, 0)$. Эти точки также являются вершинами правильного шестиугольника, вписанного в единичную окружность. $z^7$ совпадает с $z^1$.

Ответ: $z^1=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z^2=-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z^3=-1$, $z^4=-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z^5=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z^6=1$, $z^7=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$.