Номер 17.8, страница 395 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 17.8, страница 395.
№17.8 (с. 395)
Условие. №17.8 (с. 395)
скриншот условия

17.8 Докажите теорему 1Б о частном комплексных чисел.
Решение 1. №17.8 (с. 395)

Решение 2. №17.8 (с. 395)

Решение 4. №17.8 (с. 395)
Теорема 16б о частном комплексных чисел утверждает, что для любых двух комплексных чисел $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$, где $z_2 \neq 0$, их частное $\frac{z_1}{z_2}$ существует, единственно и вычисляется по определенной формуле. Докажем эту теорему.
По определению, частным двух комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ называется такое комплексное число $z$, что $z \cdot z_2 = z_1$. Наша задача — найти это число $z$.
Запишем частное в виде дроби:
$z = \frac{z_1}{z_2} = \frac{a+bi}{c+di}$
Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, то есть на $\bar{z_2} = c - di$. Так как $z_2 \neq 0$, то $c$ и $d$ не равны нулю одновременно, а значит и $\bar{z_2} \neq 0$. Данное преобразование является тождественным, так как мы умножаем дробь на 1.
$z = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}$
Раскроем скобки в числителе, используя правило умножения комплексных чисел:
$(a+bi)(c-di) = ac - adi + bci - bdi^2 = ac - adi + bci - bd(-1) = (ac+bd) + (bc-ad)i$
Теперь раскроем скобки в знаменателе. Произведение комплексно-сопряженных чисел равно квадрату модуля этого числа, что является действительным числом:
$(c+di)(c-di) = c^2 - (di)^2 = c^2 - d^2i^2 = c^2 - d^2(-1) = c^2+d^2$
Поскольку $z_2 \neq 0$ (то есть $c$ и $d$ не равны нулю одновременно), знаменатель $c^2+d^2$ является строго положительным действительным числом.
Подставим полученные выражения для числителя и знаменателя обратно в дробь:
$z = \frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2}$
Разделив действительную и мнимую части на действительный знаменатель, получим алгебраическую форму искомого комплексного числа $z$:
$z = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + i \frac{bc-ad}{c^2+d^2}$
Мы конструктивно доказали существование частного $z$ и вывели формулу для его нахождения. Единственность частного следует из того, что если бы существовало другое число $z'$ такое, что $z' \cdot z_2 = z_1$, то $z \cdot z_2 = z' \cdot z_2$, и, умножив обе части на обратное к $z_2$ число, мы бы получили $z=z'$. Таким образом, теорема доказана.
Ответ: Теорема доказана путем умножения числителя и знаменателя дроби $\frac{a+bi}{c+di}$ на число, сопряженное знаменателю ($c-di$), что однозначно определяет частное и приводит к формуле: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + i \frac{bc-ad}{c^2+d^2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 17.8 расположенного на странице 395 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №17.8 (с. 395), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.