Номер 17.8, страница 395 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел - номер 17.8, страница 395.

Условие.

17.8 Докажите теорему 1Б о частном комплексных чисел.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Теорема 16б о частном комплексных чисел утверждает, что для любых двух комплексных чисел $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$, где $z_2 \neq 0$, их частное $\frac{z_1}{z_2}$ существует, единственно и вычисляется по определенной формуле. Докажем эту теорему.

По определению, частным двух комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ называется такое комплексное число $z$, что $z \cdot z_2 = z_1$. Наша задача — найти это число $z$.

Запишем частное в виде дроби:

$z = \frac{z_1}{z_2} = \frac{a+bi}{c+di}$

Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, то есть на $\bar{z_2} = c - di$. Так как $z_2 \neq 0$, то $c$ и $d$ не равны нулю одновременно, а значит и $\bar{z_2} \neq 0$. Данное преобразование является тождественным, так как мы умножаем дробь на 1.

$z = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}$

Раскроем скобки в числителе, используя правило умножения комплексных чисел:

$(a+bi)(c-di) = ac - adi + bci - bdi^2 = ac - adi + bci - bd(-1) = (ac+bd) + (bc-ad)i$

Теперь раскроем скобки в знаменателе. Произведение комплексно-сопряженных чисел равно квадрату модуля этого числа, что является действительным числом:

$(c+di)(c-di) = c^2 - (di)^2 = c^2 - d^2i^2 = c^2 - d^2(-1) = c^2+d^2$

Поскольку $z_2 \neq 0$ (то есть $c$ и $d$ не равны нулю одновременно), знаменатель $c^2+d^2$ является строго положительным действительным числом.

Подставим полученные выражения для числителя и знаменателя обратно в дробь:

$z = \frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2}$

Разделив действительную и мнимую части на действительный знаменатель, получим алгебраическую форму искомого комплексного числа $z$:

$z = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + i \frac{bc-ad}{c^2+d^2}$

Мы конструктивно доказали существование частного $z$ и вывели формулу для его нахождения. Единственность частного следует из того, что если бы существовало другое число $z'$ такое, что $z' \cdot z_2 = z_1$, то $z \cdot z_2 = z' \cdot z_2$, и, умножив обе части на обратное к $z_2$ число, мы бы получили $z=z'$. Таким образом, теорема доказана.

Ответ: Теорема доказана путем умножения числителя и знаменателя дроби $\frac{a+bi}{c+di}$ на число, сопряженное знаменателю ($c-di$), что однозначно определяет частное и приводит к формуле: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + i \frac{bc-ad}{c^2+d^2}$.