Номер 17.1, страница 394 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 17.1, страница 394.

Условие.

17.1°

a) Что называют аргументом отличного от нуля комплексного числа $z$?

б) Как можно найти аргумент комплексного числа $z (z \neq 0)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Аргументом отличного от нуля комплексного числа $z = x + iy$ называется угол $\varphi$ между положительной полуосью действительной оси (осью $Ox$) и радиус-вектором, проведенным из начала координат $O$ в точку $Z(x, y)$, соответствующую этому числу на комплексной плоскости. Угол, отсчитываемый против часовой стрелки, принято считать положительным, а по часовой стрелке — отрицательным.

Поскольку положение радиус-вектора не изменится при добавлении к углу целого числа полных оборотов ($360^\circ$ или $2\pi$ радиан), аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Если $\varphi$ — одно из значений аргумента, то все множество значений аргумента, обозначаемое $\mathrm{Arg}\,z$, можно найти по формуле:$$ \mathrm{Arg}\,z = \varphi + 2\pi k, \quad \text{где } k \in \mathbb{Z} \text{ (любое целое число)} $$Значение аргумента, которое принадлежит промежутку $(-\pi, \pi]$, называется главным значением аргумента и обозначается $\mathrm{arg}\,z$. Иногда в качестве главного значения выбирают аргумент из промежутка $[0, 2\pi)$.

Ответ: Аргументом отличного от нуля комплексного числа $z$ называют величину угла $\varphi$ между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором, соединяющим начало координат с точкой, соответствующей числу $z$ на комплексной плоскости.

б) Чтобы найти аргумент $\varphi$ комплексного числа $z = x + iy$ (при условии, что $z \neq 0$), используют его действительную часть $x = \mathrm{Re}(z)$ и мнимую часть $y = \mathrm{Im}(z)$. Модуль числа равен $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Из тригонометрической формы записи комплексного числа $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ следуют соотношения:

$$ \begin{cases} \cos\varphi = \frac{x}{|z|} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \sin\varphi = \frac{y}{|z|} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{cases} $$

Решая данную систему, можно найти $\varphi$. На практике для нахождения главного значения аргумента $\mathrm{arg}\,z \in (-\pi, \pi]$ удобно действовать по следующему алгоритму:

1. Определить знаки действительной части $x$ и мнимой части $y$, чтобы понять, в какой четверти комплексной плоскости находится число.
2. Если $x \neq 0$, можно найти вспомогательный угол с помощью арктангенса. Формула для $\varphi$ зависит от четверти:
   • I и IV четверти ($x > 0$): $\varphi = \mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)$
   • II четверть ($x < 0, y \ge 0$): $\varphi = \pi + \mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)$
   • III четверть ($x < 0, y < 0$): $\varphi = -\pi + \mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)$
3. Если $x = 0$, то число лежит на мнимой оси:
   • Если $y > 0$, то $\varphi = \frac{\pi}{2}$
   • Если $y < 0$, то $\varphi = -\frac{\pi}{2}$
4. Если $y=0$, то число лежит на действительной оси:
   • Если $x>0$, то $\varphi = 0$
   • Если $x<0$, то $\varphi = \pi$

Ответ: Аргумент $\varphi$ комплексного числа $z = x+iy$ можно найти, решив систему уравнений $\cos\varphi = x/\sqrt{x^2+y^2}$ и $\sin\varphi = y/\sqrt{x^2+y^2}$. Практически, его главное значение вычисляют с помощью арктангенса $\mathrm{arctg}(y/x)$, корректируя результат в зависимости от четверти, в которой находится число, и рассматривая отдельно случаи, когда число является чисто действительным или чисто мнимым.