Номер 16.47, страница 390 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел - номер 16.47, страница 390.

Условие.

Найдите множество точек z комплексной плоскости, удовлетворяющих условию (16.47–16.50):

16.47 а) $ |z|=4; $

б) $ |z| \leq 4; $

в) $ |z| \geq 4. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения данной задачи необходимо понимать геометрический смысл модуля комплексного числа. Пусть комплексное число $z$ задано в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x$ — действительная часть, а $y$ — мнимая часть. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(x, y)$. Модуль комплексного числа, обозначаемый как $|z|$, представляет собой расстояние от точки $(x, y)$ до начала координат $(0, 0)$ и вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Выражение $|z - z_0| = R$ геометрически описывает окружность с центром в точке $z_0$ и радиусом $R$. В нашем случае $z_0 = 0$.

а) $|z| = 4;$

Условие $|z| = 4$ означает, что расстояние от точки, соответствующей комплексному числу $z$, до начала координат равно 4.

В координатной форме это записывается как:

$\sqrt{x^2 + y^2} = 4$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$x^2 + y^2 = 4^2$

$x^2 + y^2 = 16$

Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = 4$.

Ответ: Множество точек $z$ — это окружность с центром в начале координат и радиусом 4.

б) $|z| \leq 4;$

Условие $|z| \leq 4$ означает, что расстояние от точки $z$ до начала координат меньше или равно 4.

В координатной форме это неравенство выглядит так:

$\sqrt{x^2 + y^2} \leq 4$

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$x^2 + y^2 \leq 4^2$

$x^2 + y^2 \leq 16$

Это неравенство описывает все точки, которые находятся на расстоянии не более 4 от начала координат. Геометрически это замкнутый круг с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R=4$. Множество включает как все точки внутри окружности, так и саму окружность.

Ответ: Множество точек $z$ — это замкнутый круг с центром в начале координат и радиусом 4.

в) $|z| \geq 4.$

Условие $|z| \geq 4$ означает, что расстояние от точки $z$ до начала координат больше или равно 4.

В координатной форме:

$\sqrt{x^2 + y^2} \geq 4$

Возводим обе части в квадрат:

$x^2 + y^2 \geq 4^2$

$x^2 + y^2 \geq 16$

Это неравенство описывает все точки, которые удалены от начала координат на расстояние не менее 4. Геометрически это множество точек, лежащих на окружности с центром в $(0, 0)$ и радиусом $R=4$, а также всех точек, лежащих вне этой окружности.

Ответ: Множество точек $z$ — это объединение окружности с центром в начале координат и радиусом 4 и области вне этой окружности.