Номер 16.40, страница 386 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел - номер 16.40, страница 386.

Условие.

16.40 a) $z \operatorname{Re} z + \bar{z} \operatorname{Im} z = 3 - 2i;$

•б) $\frac{z}{\operatorname{Re} z} - \frac{2\bar{z}}{\operatorname{Im} z} = z(1 + 2i).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a) $z \text{Re } z + \bar{z} \text{Im } z = 3 - 2i$

Представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + yi$, где $x = \text{Re } z$ – действительная часть, а $y = \text{Im } z$ – мнимая часть. Тогда комплексно-сопряженное число $\bar{z}$ равно $x - yi$.
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$(x + yi)x + (x - yi)y = 3 - 2i$
Раскроем скобки:
$x^2 + xyi + xy - y^2i = 3 - 2i$
Сгруппируем действительные и мнимые части в левой части уравнения:
$(x^2 + xy) + (xy - y^2)i = 3 - 2i$
Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Приравнивая их, получаем систему из двух уравнений:
$$ \begin{cases} x^2 + xy = 3 \\ xy - y^2 = -2 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $y$: $y = \frac{3 - x^2}{x}$. Заметим, что $x \neq 0$, иначе $0=3$, что неверно.
Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:
$x \left(\frac{3 - x^2}{x}\right) - \left(\frac{3 - x^2}{x}\right)^2 = -2$
$3 - x^2 - \frac{(3 - x^2)^2}{x^2} = -2$
$3 - x^2 - \frac{9 - 6x^2 + x^4}{x^2} = -2$
Умножим обе части уравнения на $x^2$:
$3x^2 - x^4 - (9 - 6x^2 + x^4) = -2x^2$
$3x^2 - x^4 - 9 + 6x^2 - x^4 = -2x^2$
$-2x^4 + 9x^2 - 9 = -2x^2$
$2x^4 - 11x^2 + 9 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$ (где $t \ge 0$):
$2t^2 - 11t + 9 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 121 - 72 = 49 = 7^2$
$t_1 = \frac{11 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
$t_2 = \frac{11 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$
Оба корня положительные. Вернемся к замене $x^2 = t$:
1) $x^2 = 1 \implies x_1 = 1, x_2 = -1$.
2) $x^2 = \frac{9}{2} \implies x_3 = \frac{3}{\sqrt{2}}, x_4 = -\frac{3}{\sqrt{2}}$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$ по формуле $y = \frac{3 - x^2}{x}$:
- Для $x_1 = 1$: $y_1 = \frac{3 - 1^2}{1} = 2$. Получаем решение $z_1 = 1 + 2i$.
- Для $x_2 = -1$: $y_2 = \frac{3 - (-1)^2}{-1} = \frac{2}{-1} = -2$. Получаем решение $z_2 = -1 - 2i$.
- Для $x_3 = \frac{3}{\sqrt{2}}$: $y_3 = \frac{3 - (9/2)}{3/\sqrt{2}} = \frac{-3/2}{3/\sqrt{2}} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Получаем решение $z_3 = \frac{3}{\sqrt{2}} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.
- Для $x_4 = -\frac{3}{\sqrt{2}}$: $y_4 = \frac{3 - (9/2)}{-3/\sqrt{2}} = \frac{-3/2}{-3/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Получаем решение $z_4 = -\frac{3}{\sqrt{2}} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $z_1 = 1 + 2i, z_2 = -1 - 2i, z_3 = \frac{3\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}, z_4 = -\frac{3\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) $\frac{z}{\text{Re } z} - \frac{2\bar{z}}{\text{Im } z} = z(1 + 2i)$

Пусть $z = x + yi$. Тогда $\text{Re } z = x$, $\text{Im } z = y$ и $\bar{z} = x - yi$. Из условия следует, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$.
Подставим выражения в уравнение:
$\frac{x + yi}{x} - \frac{2(x - yi)}{y} = (x + yi)(1 + 2i)$
Преобразуем левую и правую части.
Левая часть:
$1 + \frac{y}{x}i - \left(\frac{2x}{y} - \frac{2y}{y}i\right) = 1 + \frac{y}{x}i - \frac{2x}{y} + 2i = \left(1 - \frac{2x}{y}\right) + i\left(\frac{y}{x} + 2\right)$
Правая часть:
$(x + yi)(1 + 2i) = x + 2xi + yi + 2yi^2 = x + 2xi + yi - 2y = (x - 2y) + i(2x + y)$
Приравнивая левую и правую части, получаем:
$\left(1 - \frac{2x}{y}\right) + i\left(\frac{y}{x} + 2\right) = (x - 2y) + i(2x + y)$
Приравниваем действительные и мнимые части:
$$ \begin{cases} 1 - \frac{2x}{y} = x - 2y & (1) \\ \frac{y}{x} + 2 = 2x + y & (2) \end{cases} $$ Рассмотрим второе уравнение. Умножим его на $x$ (помним, что $x \neq 0$):
$y + 2x = 2x^2 + xy$
$y - xy = 2x^2 - 2x$
$y(1 - x) = 2x(x - 1)$
$y(1 - x) = -2x(1 - x)$
$(y + 2x)(1 - x) = 0$
Отсюда следуют два возможных случая:
Случай 1: $1 - x = 0 \implies x = 1$.
Подставим $x = 1$ в первое уравнение системы:
$1 - \frac{2(1)}{y} = 1 - 2y$
$-\frac{2}{y} = -2y$
$2y^2 = 2 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1$.
Получаем два решения: $z_1 = 1 + i$ и $z_2 = 1 - i$.
Случай 2: $y + 2x = 0 \implies y = -2x$.
Подставим $y = -2x$ в первое уравнение системы:
$1 - \frac{2x}{-2x} = x - 2(-2x)$
$1 - (-1) = x + 4x$
$2 = 5x \implies x = \frac{2}{5}$.
Тогда $y = -2x = -2 \cdot \frac{2}{5} = -\frac{4}{5}$.
Получаем третье решение: $z_3 = \frac{2}{5} - i\frac{4}{5}$.

Ответ: $z_1 = 1 + i, z_2 = 1 - i, z_3 = \frac{2}{5} - \frac{4}{5}i$.