Номер 16.39, страница 386 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 16.39, страница 386.
№16.39 (с. 386)
Условие. №16.39 (с. 386)
скриншот условия

Найдите все комплексные числа $z$, удовлетворяющие условию (16.39–16.40):
16.39 a) $z^2 + 2\bar{z} + 1 = 0$;
б) $z^2 - 2(z + \bar{z}) + 4 = 0$.
Решение 1. №16.39 (с. 386)


Решение 2. №16.39 (с. 386)

Решение 4. №16.39 (с. 386)
а) $z^2 + 2\bar{z} + 1 = 0$
Представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x$ и $y$ — действительные числа. Тогда комплексно-сопряженное число будет $\bar{z} = x - iy$.
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$(x + iy)^2 + 2(x - iy) + 1 = 0$
Раскроем скобки и преобразуем выражение:
$x^2 + 2ixy + (iy)^2 + 2x - 2iy + 1 = 0$
$x^2 + 2ixy - y^2 + 2x - 2iy + 1 = 0$
Сгруппируем действительную и мнимую части:
$(x^2 - y^2 + 2x + 1) + i(2xy - 2y) = 0$
Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда его действительная и мнимая части равны нулю. Это дает нам систему из двух уравнений:
$\begin{cases} x^2 - y^2 + 2x + 1 = 0 \\ 2xy - 2y = 0 \end{cases}$
Рассмотрим второе уравнение системы:
$2y(x - 1) = 0$
Отсюда следует, что либо $y = 0$, либо $x - 1 = 0 \implies x = 1$.
Случай 1: $y = 0$.
Подставим $y = 0$ в первое уравнение системы:
$x^2 - 0^2 + 2x + 1 = 0$
$x^2 + 2x + 1 = 0$
$(x + 1)^2 = 0$
$x = -1$
Таким образом, получаем первое решение: $z_1 = -1 + 0i = -1$.
Случай 2: $x = 1$.
Подставим $x = 1$ в первое уравнение системы:
$1^2 - y^2 + 2(1) + 1 = 0$
$1 - y^2 + 2 + 1 = 0$
$4 - y^2 = 0$
$y^2 = 4$
$y = \pm 2$
Таким образом, получаем еще два решения:
$z_2 = 1 + 2i$
$z_3 = 1 - 2i$
Ответ: $z = -1$, $z = 1 + 2i$, $z = 1 - 2i$.
б) $z^2 - 2(z + \bar{z}) + 4 = 0$
Представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$.
Найдем сумму $z + \bar{z}$:
$z + \bar{z} = (x + iy) + (x - iy) = 2x$
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$z^2 - 2(2x) + 4 = 0$
$z^2 - 4x + 4 = 0$
Теперь подставим $z = x + iy$ в полученное уравнение:
$(x + iy)^2 - 4x + 4 = 0$
$x^2 + 2ixy - y^2 - 4x + 4 = 0$
Сгруппируем действительную и мнимую части:
$(x^2 - y^2 - 4x + 4) + i(2xy) = 0$
Приравняем действительную и мнимую части к нулю, чтобы получить систему уравнений:
$\begin{cases} x^2 - y^2 - 4x + 4 = 0 \\ 2xy = 0 \end{cases}$
Из второго уравнения $2xy = 0$ следует, что либо $x = 0$, либо $y = 0$.
Случай 1: $x = 0$.
Подставим $x = 0$ в первое уравнение системы:
$0^2 - y^2 - 4(0) + 4 = 0$
$-y^2 + 4 = 0$
$y^2 = 4$
$y = \pm 2$
Получаем два решения:
$z_1 = 0 + 2i = 2i$
$z_2 = 0 - 2i = -2i$
Случай 2: $y = 0$.
Подставим $y = 0$ в первое уравнение системы:
$x^2 - 0^2 - 4x + 4 = 0$
$x^2 - 4x + 4 = 0$
$(x - 2)^2 = 0$
$x = 2$
Получаем третье решение: $z_3 = 2 + 0i = 2$.
Ответ: $z = 2$, $z = 2i$, $z = -2i$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 16.39 расположенного на странице 386 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №16.39 (с. 386), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.