Номер 16.39, страница 386 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел - номер 16.39, страница 386.

Условие.

Найдите все комплексные числа $z$, удовлетворяющие условию (16.39–16.40):

16.39 a) $z^2 + 2\bar{z} + 1 = 0$;

б) $z^2 - 2(z + \bar{z}) + 4 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $z^2 + 2\bar{z} + 1 = 0$

Представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x$ и $y$ — действительные числа. Тогда комплексно-сопряженное число будет $\bar{z} = x - iy$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(x + iy)^2 + 2(x - iy) + 1 = 0$

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

$x^2 + 2ixy + (iy)^2 + 2x - 2iy + 1 = 0$

$x^2 + 2ixy - y^2 + 2x - 2iy + 1 = 0$

Сгруппируем действительную и мнимую части:

$(x^2 - y^2 + 2x + 1) + i(2xy - 2y) = 0$

Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда его действительная и мнимая части равны нулю. Это дает нам систему из двух уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 + 2x + 1 = 0 \\ 2xy - 2y = 0 \end{cases}$

Рассмотрим второе уравнение системы:

$2y(x - 1) = 0$

Отсюда следует, что либо $y = 0$, либо $x - 1 = 0 \implies x = 1$.

Случай 1: $y = 0$.

Подставим $y = 0$ в первое уравнение системы:

$x^2 - 0^2 + 2x + 1 = 0$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x + 1)^2 = 0$

$x = -1$

Таким образом, получаем первое решение: $z_1 = -1 + 0i = -1$.

Случай 2: $x = 1$.

Подставим $x = 1$ в первое уравнение системы:

$1^2 - y^2 + 2(1) + 1 = 0$

$1 - y^2 + 2 + 1 = 0$

$4 - y^2 = 0$

$y^2 = 4$

$y = \pm 2$

Таким образом, получаем еще два решения:

$z_2 = 1 + 2i$

$z_3 = 1 - 2i$

Ответ: $z = -1$, $z = 1 + 2i$, $z = 1 - 2i$.

б) $z^2 - 2(z + \bar{z}) + 4 = 0$

Представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$.

Найдем сумму $z + \bar{z}$:

$z + \bar{z} = (x + iy) + (x - iy) = 2x$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$z^2 - 2(2x) + 4 = 0$

$z^2 - 4x + 4 = 0$

Теперь подставим $z = x + iy$ в полученное уравнение:

$(x + iy)^2 - 4x + 4 = 0$

$x^2 + 2ixy - y^2 - 4x + 4 = 0$

Сгруппируем действительную и мнимую части:

$(x^2 - y^2 - 4x + 4) + i(2xy) = 0$

Приравняем действительную и мнимую части к нулю, чтобы получить систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 - 4x + 4 = 0 \\ 2xy = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения $2xy = 0$ следует, что либо $x = 0$, либо $y = 0$.

Случай 1: $x = 0$.

Подставим $x = 0$ в первое уравнение системы:

$0^2 - y^2 - 4(0) + 4 = 0$

$-y^2 + 4 = 0$

$y^2 = 4$

$y = \pm 2$

Получаем два решения:

$z_1 = 0 + 2i = 2i$

$z_2 = 0 - 2i = -2i$

Случай 2: $y = 0$.

Подставим $y = 0$ в первое уравнение системы:

$x^2 - 0^2 - 4x + 4 = 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x - 2)^2 = 0$

$x = 2$

Получаем третье решение: $z_3 = 2 + 0i = 2$.

Ответ: $z = 2$, $z = 2i$, $z = -2i$.