Номер 16.34, страница 385 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 16.34, страница 385.

Условие.

16.34 Пусть u и v — произвольные комплексные числа. Докажите, что:

a) $\overline{u+v} = \overline{u} + \overline{v}$;

б) $\overline{u-v} = \overline{u} - \overline{v}$;

в) $\overline{u \cdot v} = \overline{u} \cdot \overline{v}$;

г) $\overline{\left(\frac{u}{v}\right)} = \frac{\overline{u}}{\overline{v}}$, если $v \neq 0$;

д) $\overline{(u^n)} = (\overline{u})^n$, $n \in N$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Пусть комплексные числа $u$ и $v$ представлены в алгебраической форме: $u = a + bi$ и $v = c + di$, где $a, b, c, d$ — действительные числа. Найдем сумму $u+v$: $u + v = (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i$. Комплексно-сопряженное число к этой сумме равно: $\overline{u+v} = \overline{(a+c) + (b+d)i} = (a+c) - (b+d)i$. Теперь найдем сумму комплексно-сопряженных чисел. Комплексно-сопряженные к $u$ и $v$ числа это $\bar{u} = a - bi$ и $\bar{v} = c - di$. Их сумма: $\bar{u} + \bar{v} = (a - bi) + (c - di) = (a+c) - (b+d)i$. Сравнивая полученные выражения для $\overline{u+v}$ и $\bar{u} + \bar{v}$, мы видим, что они тождественно равны.
Ответ: $\overline{u+v} = \bar{u} + \bar{v}$.

б) Пусть $u = a + bi$ и $v = c + di$. Найдем разность $u-v$: $u - v = (a + bi) - (c + di) = (a-c) + (b-d)i$. Комплексно-сопряженное число к этой разности: $\overline{u-v} = \overline{(a-c) + (b-d)i} = (a-c) - (b-d)i$. Теперь найдем разность комплексно-сопряженных чисел $\bar{u} = a - bi$ и $\bar{v} = c - di$: $\bar{u} - \bar{v} = (a - bi) - (c - di) = (a-c) - (b-d)i$. Полученные выражения равны, следовательно, тождество доказано.
Ответ: $\overline{u-v} = \bar{u} - \bar{v}$.

в) Пусть $u = a + bi$ и $v = c + di$. Найдем произведение $u \cdot v$: $u \cdot v = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$. Комплексно-сопряженное число к этому произведению: $\overline{u \cdot v} = \overline{(ac - bd) + (ad + bc)i} = (ac - bd) - (ad + bc)i$. Теперь найдем произведение комплексно-сопряженных чисел $\bar{u} = a-bi$ и $\bar{v} = c-di$: $\bar{u} \cdot \bar{v} = (a - bi)(c - di) = ac - adi - bci + bdi^2 = (ac - bd) - (ad + bc)i$. Полученные выражения равны, что и доказывает тождество.
Ответ: $\overline{u \cdot v} = \bar{u} \cdot \bar{v}$.

г) Для доказательства этого свойства воспользуемся уже доказанным свойством сопряжения произведения из пункта в). Пусть $w = \frac{u}{v}$. По определению частного, это означает, что $u = w \cdot v$. Найдем комплексно-сопряженное число от обеих частей равенства $u = w \cdot v$: $\bar{u} = \overline{w \cdot v}$. Применим свойство сопряжения произведения: $\bar{u} = \bar{w} \cdot \bar{v}$. По условию $v \neq 0$, из этого следует, что и $\bar{v} \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части равенства на $\bar{v}$: $\bar{w} = \frac{\bar{u}}{\bar{v}}$. Подставив обратно $w = \frac{u}{v}$, получаем искомое тождество: $\overline{\left(\frac{u}{v}\right)} = \frac{\bar{u}}{\bar{v}}$.
Ответ: $\overline{\left(\frac{u}{v}\right)} = \frac{\bar{u}}{\bar{v}}$, если $v \neq 0$.

д) Докажем равенство $\overline{(u^n)} = (\bar{u})^n$ для любого натурального $n \in \mathbb{N}$ методом математической индукции. 1. База индукции: Проверим утверждение для $n=1$. $\overline{(u^1)} = \bar{u}$. $(\bar{u})^1 = \bar{u}$. Равенство выполняется, база индукции верна. 2. Индукционное предположение: Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть $\overline{(u^k)} = (\bar{u})^k$. 3. Индукционный переход: Докажем, что из верности утверждения для $k$ следует его верность для $k+1$. Рассмотрим левую часть равенства для $n = k+1$: $\overline{(u^{k+1})} = \overline{(u^k \cdot u)}$. Используя свойство сопряжения произведения из пункта в), получаем: $\overline{(u^k \cdot u)} = \overline{(u^k)} \cdot \bar{u}$. Теперь применим индукционное предположение $\overline{(u^k)} = (\bar{u})^k$: $\overline{(u^k)} \cdot \bar{u} = (\bar{u})^k \cdot \bar{u} = (\bar{u})^{k+1}$. Таким образом, мы показали, что $\overline{(u^{k+1})} = (\bar{u})^{k+1}$. По принципу математической индукции, равенство доказано для любого натурального $n$.
Ответ: $\overline{(u^n)} = (\bar{u})^n, n \in \mathbb{N}$.