Номер 16.33, страница 385 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 16.33, страница 385.
№16.33 (с. 385)
Условие. №16.33 (с. 385)
скриншот условия

16.33 Докажите, что сумма и произведение взаимно сопряжённых чисел — действительные числа.
Решение 1. №16.33 (с. 385)

Решение 2. №16.33 (с. 385)

Решение 4. №16.33 (с. 385)
Для доказательства возьмём произвольное комплексное число $z$ в его алгебраической форме $z = a + bi$, где $a$ и $b$ являются действительными числами ($a, b \in \mathbb{R}$), а $i$ — мнимая единица. Число, взаимно сопряжённое к $z$, обозначается как $\bar{z}$ и равно $\bar{z} = a - bi$.
Нам необходимо доказать, что сумма $z + \bar{z}$ и произведение $z \cdot \bar{z}$ являются действительными числами.
Сумма
Найдём сумму сопряжённых чисел $z$ и $\bar{z}$:
$z + \bar{z} = (a + bi) + (a - bi) = a + bi + a - bi = (a+a) + (b-b)i = 2a$.
По определению, $a$ — это действительная часть комплексного числа, то есть $a$ является действительным числом. Следовательно, выражение $2a$ также является действительным числом. Мнимая часть результата равна нулю.
Ответ: Сумма взаимно сопряжённых чисел равна $2a$ и является действительным числом.
Произведение
Найдём произведение сопряжённых чисел $z$ и $\bar{z}$. Для этого воспользуемся формулой разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:
$z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2i^2$.
Зная, что мнимая единица в квадрате даёт $-1$ ($i^2 = -1$), подставим это значение в выражение:
$a^2 - b^2(-1) = a^2 + b^2$.
По определению, $a$ и $b$ — действительные числа. Квадраты действительных чисел ($a^2$ и $b^2$) также являются действительными числами, как и их сумма. Следовательно, выражение $a^2 + b^2$ является действительным числом. Мнимая часть результата равна нулю.
Ответ: Произведение взаимно сопряжённых чисел равно $a^2 + b^2$ и является действительным числом.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 16.33 расположенного на странице 385 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №16.33 (с. 385), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.