Номер 16.33, страница 385 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел - номер 16.33, страница 385.

Условие.

16.33 Докажите, что сумма и произведение взаимно сопряжённых чисел — действительные числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для доказательства возьмём произвольное комплексное число $z$ в его алгебраической форме $z = a + bi$, где $a$ и $b$ являются действительными числами ($a, b \in \mathbb{R}$), а $i$ — мнимая единица. Число, взаимно сопряжённое к $z$, обозначается как $\bar{z}$ и равно $\bar{z} = a - bi$.

Нам необходимо доказать, что сумма $z + \bar{z}$ и произведение $z \cdot \bar{z}$ являются действительными числами.

Сумма

Найдём сумму сопряжённых чисел $z$ и $\bar{z}$:
$z + \bar{z} = (a + bi) + (a - bi) = a + bi + a - bi = (a+a) + (b-b)i = 2a$.

По определению, $a$ — это действительная часть комплексного числа, то есть $a$ является действительным числом. Следовательно, выражение $2a$ также является действительным числом. Мнимая часть результата равна нулю.

Ответ: Сумма взаимно сопряжённых чисел равна $2a$ и является действительным числом.

Произведение

Найдём произведение сопряжённых чисел $z$ и $\bar{z}$. Для этого воспользуемся формулой разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:
$z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2i^2$.

Зная, что мнимая единица в квадрате даёт $-1$ ($i^2 = -1$), подставим это значение в выражение:
$a^2 - b^2(-1) = a^2 + b^2$.

По определению, $a$ и $b$ — действительные числа. Квадраты действительных чисел ($a^2$ и $b^2$) также являются действительными числами, как и их сумма. Следовательно, выражение $a^2 + b^2$ является действительным числом. Мнимая часть результата равна нулю.

Ответ: Произведение взаимно сопряжённых чисел равно $a^2 + b^2$ и является действительным числом.