Номер 16.28, страница 384 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 16.28, страница 384.
№16.28 (с. 384)
Условие. №16.28 (с. 384)
скриншот условия

16.28 Определите все действительные числа $a$, при каждом из которых является действительным числом выражение:
а) $(1 + 4i)^3 + \frac{a + 100i}{1 + i}$;
б) $(2 - 5i)^3 - \frac{(a + 4i)^2}{i^3}$.
Решение 1. №16.28 (с. 384)


Решение 2. №16.28 (с. 384)

Решение 4. №16.28 (с. 384)
Для того чтобы комплексное выражение было действительным числом, его мнимая часть должна быть равна нулю. Мы преобразуем каждое выражение к стандартному виду $z = x + yi$ и приравняем мнимую часть $y$ к нулю.
а) $(1 + 4i)^3 + \frac{a + 100i}{1 + i}$
1. Упростим первое слагаемое $(1 + 4i)^3$, используя формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$ и свойства мнимой единицы ($i^2 = -1$, $i^3 = -i$):
$(1 + 4i)^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot (4i) + 3 \cdot 1 \cdot (4i)^2 + (4i)^3 = 1 + 12i + 3(16i^2) + 64i^3 = 1 + 12i - 48 - 64i = -47 - 52i$.
2. Упростим второе слагаемое $\frac{a + 100i}{1 + i}$, умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное знаменателю число $(1 - i)$:
$\frac{a + 100i}{1 + i} = \frac{(a + 100i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{a - ai + 100i - 100i^2}{1^2 - i^2} = \frac{a - ai + 100i + 100}{1 - (-1)} = \frac{(a + 100) + (100 - a)i}{2} = \frac{a + 100}{2} + \frac{100 - a}{2}i$.
3. Сложим полученные выражения:
$(-47 - 52i) + \left(\frac{a + 100}{2} + \frac{100 - a}{2}i\right) = \left(-47 + \frac{a + 100}{2}\right) + \left(-52 + \frac{100 - a}{2}\right)i$.
4. Приравняем мнимую часть к нулю и решим уравнение относительно $a$:
$-52 + \frac{100 - a}{2} = 0$
$-104 + 100 - a = 0$
$-4 - a = 0$
$a = -4$
Ответ: $a = -4$.
б) $(2 - 5i)^3 - \frac{(a + 4i)^2}{i^3}$
1. Упростим первое слагаемое $(2 - 5i)^3$, используя формулу куба разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$:
$(2 - 5i)^3 = 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot (5i) + 3 \cdot 2 \cdot (5i)^2 - (5i)^3 = 8 - 60i + 6(25i^2) - 125i^3 = 8 - 60i - 150 - 125(-i) = 8 - 60i - 150 + 125i = -142 + 65i$.
2. Упростим второе слагаемое $\frac{(a + 4i)^2}{i^3}$. Сначала возведем в квадрат числитель:
$(a + 4i)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (4i) + (4i)^2 = a^2 + 8ai + 16i^2 = a^2 - 16 + 8ai$.
Знаменатель $i^3 = -i$. Тогда дробь равна:
$\frac{a^2 - 16 + 8ai}{i^3} = \frac{a^2 - 16 + 8ai}{-i}$.
Чтобы избавиться от $i$ в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $i$:
$\frac{(a^2 - 16 + 8ai) \cdot i}{-i \cdot i} = \frac{(a^2 - 16)i + 8ai^2}{-i^2} = \frac{(a^2 - 16)i - 8a}{-(-1)} = -8a + (a^2 - 16)i$.
3. Выполним вычитание:
$(-142 + 65i) - (-8a + (a^2 - 16)i) = -142 + 65i + 8a - (a^2 - 16)i = (-142 + 8a) + (65 - (a^2 - 16))i$.
4. Приравняем мнимую часть к нулю и решим уравнение относительно $a$:
$65 - (a^2 - 16) = 0$
$65 - a^2 + 16 = 0$
$81 - a^2 = 0$
$a^2 = 81$
$a_1 = 9, \quad a_2 = -9$
Ответ: $a = -9, a = 9$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 16.28 расположенного на странице 384 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №16.28 (с. 384), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.