Номер 16.28, страница 384 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел - номер 16.28, страница 384.

Условие.

16.28 Определите все действительные числа $a$, при каждом из которых является действительным числом выражение:

а) $(1 + 4i)^3 + \frac{a + 100i}{1 + i}$;

б) $(2 - 5i)^3 - \frac{(a + 4i)^2}{i^3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для того чтобы комплексное выражение было действительным числом, его мнимая часть должна быть равна нулю. Мы преобразуем каждое выражение к стандартному виду $z = x + yi$ и приравняем мнимую часть $y$ к нулю.

а) $(1 + 4i)^3 + \frac{a + 100i}{1 + i}$

1. Упростим первое слагаемое $(1 + 4i)^3$, используя формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$ и свойства мнимой единицы ($i^2 = -1$, $i^3 = -i$):

$(1 + 4i)^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot (4i) + 3 \cdot 1 \cdot (4i)^2 + (4i)^3 = 1 + 12i + 3(16i^2) + 64i^3 = 1 + 12i - 48 - 64i = -47 - 52i$.

2. Упростим второе слагаемое $\frac{a + 100i}{1 + i}$, умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное знаменателю число $(1 - i)$:

$\frac{a + 100i}{1 + i} = \frac{(a + 100i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{a - ai + 100i - 100i^2}{1^2 - i^2} = \frac{a - ai + 100i + 100}{1 - (-1)} = \frac{(a + 100) + (100 - a)i}{2} = \frac{a + 100}{2} + \frac{100 - a}{2}i$.

3. Сложим полученные выражения:

$(-47 - 52i) + \left(\frac{a + 100}{2} + \frac{100 - a}{2}i\right) = \left(-47 + \frac{a + 100}{2}\right) + \left(-52 + \frac{100 - a}{2}\right)i$.

4. Приравняем мнимую часть к нулю и решим уравнение относительно $a$:

$-52 + \frac{100 - a}{2} = 0$

$-104 + 100 - a = 0$

$-4 - a = 0$

$a = -4$

Ответ: $a = -4$.

б) $(2 - 5i)^3 - \frac{(a + 4i)^2}{i^3}$

1. Упростим первое слагаемое $(2 - 5i)^3$, используя формулу куба разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$:

$(2 - 5i)^3 = 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot (5i) + 3 \cdot 2 \cdot (5i)^2 - (5i)^3 = 8 - 60i + 6(25i^2) - 125i^3 = 8 - 60i - 150 - 125(-i) = 8 - 60i - 150 + 125i = -142 + 65i$.

2. Упростим второе слагаемое $\frac{(a + 4i)^2}{i^3}$. Сначала возведем в квадрат числитель:

$(a + 4i)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (4i) + (4i)^2 = a^2 + 8ai + 16i^2 = a^2 - 16 + 8ai$.

Знаменатель $i^3 = -i$. Тогда дробь равна:

$\frac{a^2 - 16 + 8ai}{i^3} = \frac{a^2 - 16 + 8ai}{-i}$.

Чтобы избавиться от $i$ в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $i$:

$\frac{(a^2 - 16 + 8ai) \cdot i}{-i \cdot i} = \frac{(a^2 - 16)i + 8ai^2}{-i^2} = \frac{(a^2 - 16)i - 8a}{-(-1)} = -8a + (a^2 - 16)i$.

3. Выполним вычитание:

$(-142 + 65i) - (-8a + (a^2 - 16)i) = -142 + 65i + 8a - (a^2 - 16)i = (-142 + 8a) + (65 - (a^2 - 16))i$.

4. Приравняем мнимую часть к нулю и решим уравнение относительно $a$:

$65 - (a^2 - 16) = 0$

$65 - a^2 + 16 = 0$

$81 - a^2 = 0$

$a^2 = 81$

$a_1 = 9, \quad a_2 = -9$

Ответ: $a = -9, a = 9$.