Номер 16.21, страница 384 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 16.21, страница 384.

Условие.

16.21 Упростите выражение:

а) $(x + i)(x - i)$;

б) $(x + yi)(x - yi)$;

в) $(3x + yi)(3x - yi)$;

г) $(x - 2yi)(x + 2yi)$;

д) $(-5x + 4y^2i)(5x - 4y^2i)$;

е) $(6x^3 + yi)(-6x^3 + yi)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Для упрощения выражения $(x + i)(x - i)$ воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В данном случае $a = x$ и $b = i$.

$(x + i)(x - i) = x^2 - i^2$

Поскольку мнимая единица $i$ в квадрате равна $-1$ (то есть $i^2 = -1$), подставим это значение в выражение:

$x^2 - (-1) = x^2 + 1$

Ответ: $x^2 + 1$

б) Выражение $(x + yi)(x - yi)$ также является произведением сопряженных комплексных чисел и упрощается по формуле разности квадратов. Здесь $a = x$ и $b = yi$.

$(x + yi)(x - yi) = x^2 - (yi)^2 = x^2 - y^2i^2$

Заменяя $i^2$ на $-1$, получаем:

$x^2 - y^2(-1) = x^2 + y^2$

Ответ: $x^2 + y^2$

в) Упростим выражение $(3x + yi)(3x - yi)$ по формуле разности квадратов, где $a = 3x$ и $b = yi$.

$(3x + yi)(3x - yi) = (3x)^2 - (yi)^2 = 9x^2 - y^2i^2$

Подставляем $i^2 = -1$:

$9x^2 - y^2(-1) = 9x^2 + y^2$

Ответ: $9x^2 + y^2$

г) Для выражения $(x - 2yi)(x + 2yi)$ применим ту же формулу разности квадратов. Здесь $a = x$ и $b = 2yi$.

$(x - 2yi)(x + 2yi) = x^2 - (2yi)^2 = x^2 - 4y^2i^2$

Заменяем $i^2$ на $-1$:

$x^2 - 4y^2(-1) = x^2 + 4y^2$

Ответ: $x^2 + 4y^2$

д) Для упрощения выражения $(-5x + 4y^2i)(5x - 4y^2i)$ раскроем скобки, перемножив каждый член первого выражения на каждый член второго.

$(-5x + 4y^2i)(5x - 4y^2i) = (-5x) \cdot (5x) + (-5x) \cdot (-4y^2i) + (4y^2i) \cdot (5x) + (4y^2i) \cdot (-4y^2i)$

Выполним умножение:

$-25x^2 + 20xy^2i + 20xy^2i - 16y^4i^2$

Приведем подобные слагаемые и заменим $i^2$ на $-1$:

$-25x^2 + 40xy^2i - 16y^4(-1) = -25x^2 + 40xy^2i + 16y^4$

Для удобства можно переписать, начиная с положительного члена: $16y^4 - 25x^2 + 40xy^2i$.

Ответ: $16y^4 - 25x^2 + 40xy^2i$

е) Упростим выражение $(6x^3 + yi)(-6x^3 + yi)$. Переставим слагаемые для удобства, чтобы применить формулу разности квадратов: $(yi + 6x^3)(yi - 6x^3)$.

Здесь $a = yi$ и $b = 6x^3$. Применяем формулу $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$(yi + 6x^3)(yi - 6x^3) = (yi)^2 - (6x^3)^2 = y^2i^2 - 36x^6$

Подставляем $i^2 = -1$:

$y^2(-1) - 36x^6 = -y^2 - 36x^6$

Ответ: $-y^2 - 36x^6$