Номер 16.25, страница 384 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел - номер 16.25, страница 384.

Условие.

16.25 Пусть $a$ и $b$ — действительные числа. Приведите к виду $a+bi$ выражение:

а) $\frac{1}{i}$;

б) $-\frac{1}{i}$;

в) $\frac{1}{1+i}$;

г) $\frac{1}{1-i}$;

д) $\frac{1}{1+i} + \frac{1}{1-i}$;

е) $i^3 - 2i^2 + i - 1$;

ж) $i^{80} + i^{22} + i^7 + i^5 + i$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Чтобы привести выражение $\frac{1}{i}$ к виду $a+bi$, нужно избавиться от мнимой единицы в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на $i$:

$\frac{1}{i} = \frac{1 \cdot i}{i \cdot i} = \frac{i}{i^2}$

Поскольку по определению $i^2 = -1$, получаем:

$\frac{i}{-1} = -i$

В виде $a+bi$ это записывается как $0 - 1 \cdot i$.

Ответ: $-i$

б) Данное выражение является противоположным выражению из пункта а), поэтому:

$-\frac{1}{i} = -(-i) = i$

В виде $a+bi$ это записывается как $0 + 1 \cdot i$.

Ответ: $i$

в) Чтобы привести дробь $\frac{1}{1+i}$ к виду $a+bi$, умножим ее числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к $1+i$ является $1-i$:

$\frac{1}{1+i} = \frac{1 \cdot (1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-i}{1^2 + 1^2} = \frac{1-i}{2}$

Разделив действительную и мнимую части на 2, получаем итоговое выражение:

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$

Ответ: $\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$

г) Аналогично предыдущему пункту, умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{1-i}$ на сопряженное к знаменателю выражение, то есть на $1+i$:

$\frac{1}{1-i} = \frac{1 \cdot (1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+i}{1^2 + (-1)^2} = \frac{1+i}{1+1} = \frac{1+i}{2}$

Разделив на 2, получаем:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$

Ответ: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$

д) Для нахождения суммы $\frac{1}{1+i} + \frac{1}{1-i}$ можно использовать результаты, полученные в пунктах в) и г):

$(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i) + (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i) = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) + (-\frac{1}{2}i + \frac{1}{2}i) = 1 + 0i = 1$

Альтернативный способ — привести дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{1+i} + \frac{1}{1-i} = \frac{1 \cdot (1-i) + 1 \cdot (1+i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-i+1+i}{1^2+1^2} = \frac{2}{2} = 1$

В виде $a+bi$ это записывается как $1 + 0 \cdot i$.

Ответ: $1$

е) Упростим выражение $i^3 - 2i^2 + i - 1$, используя основные свойства мнимой единицы: $i^2 = -1$ и $i^3 = i^2 \cdot i = -i$.

Подставим эти значения в выражение:

$i^3 - 2i^2 + i - 1 = (-i) - 2(-1) + i - 1 = -i + 2 + i - 1$

Теперь сгруппируем действительные и мнимые части:

$(2 - 1) + (-i + i) = 1 + 0 = 1$

В виде $a+bi$ это записывается как $1 + 0 \cdot i$.

Ответ: $1$

ж) Упростим выражение $i^{80} + i^{22} + i^7 + i^5 + i$. Степени мнимой единицы циклически повторяются с периодом 4: $i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1$. Поэтому значение $i^n$ зависит от остатка от деления $n$ на 4.

Вычислим каждую степень:
$i^{80} = i^{4 \cdot 20} = (i^4)^{20} = 1^{20} = 1$ (остаток от деления 80 на 4 равен 0)
$i^{22} = i^{4 \cdot 5 + 2} = i^2 = -1$ (остаток от деления 22 на 4 равен 2)
$i^7 = i^{4 \cdot 1 + 3} = i^3 = -i$ (остаток от деления 7 на 4 равен 3)
$i^5 = i^{4 \cdot 1 + 1} = i^1 = i$ (остаток от деления 5 на 4 равен 1)

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$i^{80} + i^{22} + i^7 + i^5 + i = 1 + (-1) + (-i) + i + i$

Суммируем действительные и мнимые части:

$(1 - 1) + (-i + i + i) = 0 + i = i$

В виде $a+bi$ это записывается как $0 + 1 \cdot i$.

Ответ: $i$