Номер 16.24, страница 384 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел - номер 16.24, страница 384.

Условие.

16.24 Пусть дано комплексное число $z = 12 + 5i$. Укажите число:

а) противоположное числу $z$;

б) обратное число $z$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Дано комплексное число $z = 12 + 5i$. Найдем для него противоположное и обратное числа.

а) противоположное числу z

Противоположным для комплексного числа $z = a + bi$ является число $-z = -(a + bi) = -a - bi$. Это число, которое при сложении с исходным числом $z$ дает в результате ноль.

Для данного числа $z = 12 + 5i$ противоположным будет:

$-z = -(12 + 5i) = -12 - 5i$

Ответ: $-12 - 5i$

б) обратное числу z

Обратным для ненулевого комплексного числа $z$ является число $z^{-1} = \frac{1}{z}$. Это число, которое при умножении на исходное число $z$ дает в результате единицу.

Для данного числа $z = 12 + 5i$ обратное число равно:

$z^{-1} = \frac{1}{12 + 5i}$

Чтобы представить это число в стандартной алгебраической форме $a + bi$, нужно избавиться от мнимой части в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю. Комплексно сопряженное к $12 + 5i$ число есть $12 - 5i$.

$\frac{1}{12 + 5i} = \frac{1 \cdot (12 - 5i)}{(12 + 5i)(12 - 5i)}$

В знаменателе используем формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$ и свойство мнимой единицы $i^2 = -1$:

$(12 + 5i)(12 - 5i) = 12^2 - (5i)^2 = 144 - 25i^2 = 144 - 25(-1) = 144 + 25 = 169$

Теперь подставим полученное значение обратно в дробь:

$z^{-1} = \frac{12 - 5i}{169}$

Разделим дробь на действительную и мнимую части:

$z^{-1} = \frac{12}{169} - \frac{5}{169}i$

Ответ: $\frac{12}{169} - \frac{5}{169}i$