Номер 16.22, страница 384 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел - номер 16.22, страница 384.

Условие.

16.22 Разложите на множители:

а) $x^2 + 1;$

б) $x^2 + y^2;$

в) $16x^2 + y^2;$

г) $25x^2 + 9y^2;$

д) $25x^4 + 16y^2;$

е) $36x^6 + 16y^8.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для разложения на множители выражений, представляющих собой сумму квадратов вида $A^2+B^2$, используется метод, основанный на применении комплексных чисел. В частности, используется мнимая единица $i$, для которой справедливо равенство $i^2 = -1$. Это позволяет преобразовать сумму квадратов в разность квадратов по следующей схеме: $A^2+B^2 = A^2 - (-B^2) = A^2 - (iB)^2$. К полученной разности квадратов применяется известная формула сокращённого умножения: $X^2-Y^2 = (X-Y)(X+Y)$.

а) $x^2 + 1$

В данном выражении $A = x$ и $B = 1$.

Преобразуем сумму квадратов в разность квадратов:

$x^2 + 1^2 = x^2 - (i \cdot 1)^2 = x^2 - i^2$.

Применяя формулу разности квадратов, получаем:

$(x - i)(x + i)$.

Ответ: $(x-i)(x+i)$.

б) $x^2 + y^2$

В данном выражении $A = x$ и $B = y$.

Преобразуем сумму квадратов в разность квадратов:

$x^2 + y^2 = x^2 - (iy)^2$.

Применяя формулу разности квадратов, получаем:

$(x-iy)(x+iy)$.

Ответ: $(x-iy)(x+iy)$.

в) $16x^2 + y^2$

Сначала представим слагаемые в виде квадратов: $16x^2 = (4x)^2$. Таким образом, $A = 4x$ и $B = y$.

Преобразуем сумму квадратов в разность квадратов:

$(4x)^2 + y^2 = (4x)^2 - (iy)^2$.

Применяя формулу разности квадратов, получаем:

$(4x-iy)(4x+iy)$.

Ответ: $(4x-iy)(4x+iy)$.

г) $25x^2 + 9y^2$

Представим слагаемые в виде квадратов: $25x^2 = (5x)^2$ и $9y^2 = (3y)^2$. Таким образом, $A = 5x$ и $B = 3y$.

Преобразуем сумму квадратов в разность квадратов:

$(5x)^2 + (3y)^2 = (5x)^2 - (i \cdot 3y)^2 = (5x)^2 - (3iy)^2$.

Применяя формулу разности квадратов, получаем:

$(5x-3iy)(5x+3iy)$.

Ответ: $(5x-3iy)(5x+3iy)$.

д) $25x^4 + 16y^2$

Представим слагаемые в виде квадратов: $25x^4 = (5x^2)^2$ и $16y^2 = (4y)^2$. Таким образом, $A = 5x^2$ и $B = 4y$.

Преобразуем сумму квадратов в разность квадратов:

$(5x^2)^2 + (4y)^2 = (5x^2)^2 - (i \cdot 4y)^2 = (5x^2)^2 - (4iy)^2$.

Применяя формулу разности квадратов, получаем:

$(5x^2-4iy)(5x^2+4iy)$.

Ответ: $(5x^2-4iy)(5x^2+4iy)$.

е) $36x^6 + 16y^8$

Представим слагаемые в виде квадратов: $36x^6 = (6x^3)^2$ и $16y^8 = (4y^4)^2$. Таким образом, $A = 6x^3$ и $B = 4y^4$.

Преобразуем сумму квадратов в разность квадратов:

$(6x^3)^2 + (4y^4)^2 = (6x^3)^2 - (i \cdot 4y^4)^2 = (6x^3)^2 - (4iy^4)^2$.

Применяя формулу разности квадратов, получаем:

$(6x^3-4iy^4)(6x^3+4iy^4)$.

Ответ: $(6x^3-4iy^4)(6x^3+4iy^4)$.