Номер 16.30, страница 384 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел - номер 16.30, страница 384.

Условие.

16.30 Найдите все комплексные числа $z$, удовлетворяющие двум условиям:

а) $z^2 = -15 + 8i$ и $\text{Im } z > 0;

б) $z^2 = 5 + 12i$ и $\text{Re } z < 0.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a) Требуется найти комплексное число $z$, удовлетворяющее условиям $z^2 = -15 + 8i$ и $\text{Im } z > 0$.

Представим искомое комплексное число $z$ в алгебраической форме: $z = x + iy$, где $x$ и $y$ – действительные числа. Условие $\text{Im } z > 0$ означает, что $y > 0$.

Возведем $z$ в квадрат:

$z^2 = (x + iy)^2 = x^2 + 2ixy + (iy)^2 = x^2 + 2ixy - y^2 = (x^2 - y^2) + i(2xy)$.

Согласно условию, $z^2 = -15 + 8i$. Приравнивая действительные и мнимые части двух выражений для $z^2$, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = -15 \\ 2xy = 8 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$: $xy = 4 \implies x = \frac{4}{y}$. (Мы можем делить на $y$, так как по условию $y > 0$, следовательно $y \neq 0$).

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(\frac{4}{y})^2 - y^2 = -15$

$\frac{16}{y^2} - y^2 = -15$

Умножим обе части уравнения на $y^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$16 - y^4 = -15y^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить биквадратное уравнение:

$y^4 - 15y^2 - 16 = 0$

Сделаем замену переменной $t = y^2$. Поскольку $y$ – действительное число и $y > 0$, то $t > 0$. Уравнение принимает вид:

$t^2 - 15t - 16 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Можно использовать формулу для корней квадратного уравнения или теорему Виета. Корни: $t_1 = 16$ и $t_2 = -1$.

Поскольку $t = y^2$ должно быть положительным, корень $t_2 = -1$ является посторонним.

Таким образом, $y^2 = 16$. Отсюда $y = \pm 4$.

Учитывая условие $\text{Im } z > 0$, то есть $y > 0$, выбираем значение $y = 4$.

Теперь найдем соответствующее значение $x$ из соотношения $x = \frac{4}{y}$:

$x = \frac{4}{4} = 1$.

Следовательно, искомое комплексное число $z = 1 + 4i$.

Проверим: $(1 + 4i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 4i + (4i)^2 = 1 + 8i - 16 = -15 + 8i$. Условие $\text{Im}(1+4i) = 4 > 0$ также выполнено.

Ответ: $z = 1 + 4i$.

б) Требуется найти комплексное число $z$, удовлетворяющее условиям $z^2 = 5 + 12i$ и $\text{Re } z < 0$.

Представим $z$ в алгебраической форме: $z = x + iy$, где $x$ и $y$ – действительные числа. Условие $\text{Re } z < 0$ означает, что $x < 0$.

Возводим $z$ в квадрат: $z^2 = (x^2 - y^2) + i(2xy)$.

Приравнивая это выражение к $5 + 12i$, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 5 \\ 2xy = 12 \end{cases}$

Из второго уравнения $xy = 6$. Выразим $y$ через $x$: $y = \frac{6}{x}$. (Мы можем делить на $x$, так как по условию $x < 0$, следовательно $x \neq 0$).

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 - (\frac{6}{x})^2 = 5$

$x^2 - \frac{36}{x^2} = 5$

Умножим обе части уравнения на $x^2$:

$x^4 - 36 = 5x^2$

Перепишем в виде биквадратного уравнения:

$x^4 - 5x^2 - 36 = 0$

Сделаем замену переменной $t = x^2$. Поскольку $x$ – действительное число и $x < 0$, то $t > 0$. Уравнение принимает вид:

$t^2 - 5t - 36 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Корни: $t_1 = 9$ и $t_2 = -4$.

Поскольку $t = x^2$ должно быть положительным, корень $t_2 = -4$ является посторонним.

Таким образом, $x^2 = 9$. Отсюда $x = \pm 3$.

Учитывая условие $\text{Re } z < 0$, то есть $x < 0$, выбираем значение $x = -3$.

Теперь найдем соответствующее значение $y$ из соотношения $y = \frac{6}{x}$:

$y = \frac{6}{-3} = -2$.

Следовательно, искомое комплексное число $z = -3 - 2i$.

Проверим: $(-3 - 2i)^2 = (-(3 + 2i))^2 = (3 + 2i)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2i + (2i)^2 = 9 + 12i - 4 = 5 + 12i$. Условие $\text{Re}(-3-2i) = -3 < 0$ также выполнено.

Ответ: $z = -3 - 2i$.