Номер 16.38, страница 386 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел - номер 16.38, страница 386.

Условие.

16.38 Укажите число, сопряжённое с комплексным числом $z$:

а) $z=(3+2i)+(1-i)$;

б) $z=(3+2i)-(1-i)$;

в) $z=(1+3i)^2$;

г) $z=(1-2i)^3$;

д) $z=(3+i)^3+(1-i)^2-(1+i).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для нахождения числа, сопряженного с комплексным числом $z = a + bi$, необходимо изменить знак его мнимой части. Сопряженное число обозначается как $\bar{z}$ и равно $a - bi$.

а) $z = (3 + 2i) + (1 - i)$

Сначала упростим выражение для комплексного числа $z$, выполнив сложение. Складываем действительные и мнимые части по отдельности:

$z = (3 + 1) + (2i - i) = 4 + i$

Теперь, когда число представлено в стандартной форме $z = 4 + 1i$, мы можем найти сопряженное ему число, изменив знак мнимой части:

$\bar{z} = 4 - i$

Ответ: $4 - i$

б) $z = (3 + 2i) - (1 - i)$

Упростим выражение для $z$, выполнив вычитание:

$z = 3 + 2i - 1 + i = (3 - 1) + (2i + i) = 2 + 3i$

Для числа $z = 2 + 3i$ сопряженным будет:

$\bar{z} = 2 - 3i$

Ответ: $2 - 3i$

в) $z = (1 + 3i)^2$

Возведем в квадрат, используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и учитывая, что $i^2 = -1$:

$z = 1^2 + 2(1)(3i) + (3i)^2 = 1 + 6i + 9i^2 = 1 + 6i - 9 = -8 + 6i$

Для числа $z = -8 + 6i$ сопряженным будет:

$\bar{z} = -8 - 6i$

Ответ: $-8 - 6i$

г) $z = (1 - 2i)^3$

Возведем в куб, используя формулу $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$. Нам понадобятся степени мнимой единицы: $i^2 = -1$, $i^3 = i^2 \cdot i = -i$.

$z = 1^3 - 3(1^2)(2i) + 3(1)(2i)^2 - (2i)^3 = 1 - 6i + 3(4i^2) - 8i^3$

$z = 1 - 6i + 12(-1) - 8(-i) = 1 - 6i - 12 + 8i$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$z = (1 - 12) + (-6i + 8i) = -11 + 2i$

Для числа $z = -11 + 2i$ сопряженным будет:

$\bar{z} = -11 - 2i$

Ответ: $-11 - 2i$

д) $z = (3 + i)^3 + (1 - i)^2 - (1 + i)$

Упростим выражение, вычислив каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: $(3 + i)^3$. Используем формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

$(3 + i)^3 = 3^3 + 3(3^2)(i) + 3(3)(i^2) + i^3 = 27 + 27i + 9(-1) + (-i) = 27 + 27i - 9 - i = 18 + 26i$

Второе слагаемое: $(1 - i)^2$. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(1 - i)^2 = 1^2 - 2(1)(i) + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$

Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение:

$z = (18 + 26i) + (-2i) - (1 + i) = 18 + 26i - 2i - 1 - i$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$z = (18 - 1) + (26i - 2i - i) = 17 + 23i$

Для числа $z = 17 + 23i$ сопряженным будет:

$\bar{z} = 17 - 23i$

Ответ: $17 - 23i$