Номер 16.43, страница 390 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел - номер 16.43, страница 390.

Условие.

16.43° Что называют модулем комплексного числа?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для того чтобы понять, что такое модуль комплексного числа, давайте сначала вспомним, что такое комплексное число и как его можно представить.

Комплексное число в своей алгебраической форме записывается как $z = a + bi$, где $a$ — это действительная часть числа (обозначается $Re(z)$), $b$ — мнимая часть (обозначается $Im(z)$), а $i$ — так называемая мнимая единица, для которой выполняется равенство $i^2 = -1$.

Каждому комплексному числу $z = a + bi$ можно однозначно поставить в соответствие точку $M$ с координатами $(a, b)$ на координатной плоскости. Такая плоскость называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс ($Ox$) при этом называется действительной осью, а ось ординат ($Oy$) — мнимой осью. Также комплексное число можно представить в виде вектора $\vec{OM}$, который соединяет начало координат $O(0, 0)$ с точкой $M(a, b)$.

Модулем комплексного числа $z = a + bi$ называется длина вектора $\vec{OM}$ или, что эквивалентно, расстояние от начала координат до точки $M(a, b)$, которая изображает это число на комплексной плоскости. Модуль комплексного числа является неотрицательным действительным числом и обозначается как $|z|$ или $r$.

Исходя из геометрического смысла, формулу для вычисления модуля легко получить с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными $a$ и $b$, и гипотенузой, равной $|z|$.

Формула для вычисления модуля: $$ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $$

Пример:
Найдем модуль комплексного числа $z = 4 - 3i$. Здесь действительная часть $a=4$, а мнимая часть $b=-3$. Подставим эти значения в формулу: $$ |z| = |4 - 3i| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 $$

Ответ: Модулем комплексного числа $z = a + bi$ называют неотрицательное действительное число, равное корню квадратному из суммы квадратов его действительной и мнимой частей. Геометрически модуль представляет собой расстояние от начала координат до точки $(a, b)$ на комплексной плоскости. Формула для вычисления модуля: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.